Кольцо Эрмана

Кольцо Эрмана — в голоморфной динамике один из типов неподвижной или периодической компоненты связности области Фату. Такая компонента связности топологически эквивалентна кольцу, а динамика отображения (или его итерации первого возвращения, в случае периодической компоненты) должна быть сопряжена иррациональному повороту этого кольца.

Одним из способов построения отображения, одна из компонент множества Фату которого оказывается кольцом Эрмана, основан на рассмотрении произведений Бляшке. А именно, произведения Бляшке — отображения вида

${\displaystyle f(z)=\lambda \prod _{j=1}^{n}{\frac {z-a_{j}}{1-{\bar {a_{j}}}z}},\quad |\lambda |=1,\quad |a_{j}|\neq 1,\,}$

сохраняют единичную окружность ${\displaystyle \{|z|=1\}}$, и сохраняют ориентацию на ней тогда и только тогда, когда вне единичного диска имеется чётное число точек ${\displaystyle a_{j}}$.

Подбором точек ${\displaystyle a_{j}}$ можно добиться, чтобы ограничение отображения f на эту окружность было диффеоморфизмом с диофантовым числом вращения. Теорема Эрмана-Йоккоза утверждает в таком случае, что f аналитически сопряжено соответствующему повороту. Такое локальное сопряжение далее распространяется до границы содержащей единичную окружность компоненты Фату — оказывающейся, тем самым, кольцом Эрмана.

Примером реализации такой конструкции может служить рациональное отображение степени 3,

${\displaystyle f(z)=e^{2\pi it}\cdot {\frac {z^{2}(z-4)}{1-4z}},}$

где константа ${\displaystyle t=0.6151732\dots }$ выбирается так, чтобы число вращения ограничения f на единичную окружность равнялось бы ${\displaystyle ({\sqrt {5}}-1)/2}$.

• Милнор, Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции. = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — С. 189—194. — 320 с. — ISBN 5-93972-006-4.