Кольцо главных идеалов

Кольцо главных идеалов — кольцо, каждый идеал которого является главным. В случае некоммутативного кольца различают кольцо главных правых идеалов и кольцо главных левых идеалов.

Примеры

Все евклидовы кольца, в том числе, кольцо целых чисел $\mathbb {Z}$ , являются кольцами главных идеалов.
Пример кольца, не являющегося кольцом главных идеалов — кольцо многочленов $\mathbb {R} [x,y]$ . В нём идеал, порождённый $\langle x,y\rangle$ не является главным, то есть, не может быть порождён одним элементом кольца.

Свойства

Кольцо главных идеалов является нётеровым.
Кольцо главных идеалов является кольцом Безу.

Литература

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.

Похожие исследовательские статьи

Кольцо́ в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел, совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.

Область целостности — понятие коммутативной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителей нуля.

Главный идеал — идеал, порождённый одним элементом.

А́белева гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа $\text{[math]}$ абелева, если $\text{[math]}$ для любых двух элементов $\text{[math]}$ .

Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.

Тополо́гия Зари́сского, или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.

Максимальным идеалом коммутативного кольца называется всякий собственный идеал кольца, не содержащийся ни в каком другом собственном идеале.

Нильпотентный идеал — идеал $\text{[math]}$ кольца $\text{[math]}$ , для которого существует натуральное число $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ — аддитивная подгруппа, порождённая множеством всех произведений из $\text{[math]}$ элементов идеала $\text{[math]}$ , то есть идеал нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число $\text{[math]}$ , такое, что произведение любых $\text{[math]}$ элементов идеала $\text{[math]}$ равно 0. Наибольший интерес понятие нильпотентного идеала представляет для случая некоммутативных колец.

Подкольцо кольца $\text{[math]}$ — это пара $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — кольцо, а $\text{[math]}$ — мономорфизм (вложение) колец. Такое определение согласуется с общим понятием подобъекта в теории категорий.

Простой идеал — естественное обобщение понятия простого числа в теории колец.

Евклидово кольцо — общеалгебраическое кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида.

Факторкольцо́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.

Факториа́льное кольцо́ — область целостности, в которой каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p₁ ⋯ p_n (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.

Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения алгебраической геометрии. Классическое определение алгебраического многообразия — множество решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают его различными способами, но стараются сохранить геометрическую интуицию, соответствующую этому определению.

Коммутативное кольцо — кольцо, в котором операция умножения коммутативна. Изучением свойств коммутативных колец занимается коммутативная алгебра.

Область главных идеалов — это область целостности, в которой любой идеал является главным. Более общее понятие — кольцо главных идеалов, от которого не требуется целостности.

В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.

Кольцо дискретного нормирования — это кольцо, которое можно получить в результате дискретного нормирования некоторого поля выбором подмножества элементов с неотрицательной нормой. Такое кольцо можно определить множеством эквивалентных способов.

Группа классов идеалов дедекиндова кольца — это, грубо говоря, группа, позволяющая сказать, насколько сильно в данном кольце нарушается свойство факториальности. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда дедекиндово кольцо является факториальным. Свойства дедекиндова кольца, касающиеся умножения его элементов, тесно связаны с устройством этой группы.

Булево кольцо — кольцо с идемпотентным умножением, то есть, кольцо $\text{[math]}$ , в котором $\text{[math]}$ для всех $\text{[math]}$ .

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.