Коммутативность конъюнкции

Коммутативность конъюнкции — общезначимая логическая форма аргумента и истинностно-функциональная тавтология, в логике высказываний. Рассматривается как закон классической логики. Согласно данному принципу, конъюнкты логической связки могут меняться местами друг с другом, сохраняя при этом истинностное значение итогового высказывания^[1].

Коммутативность конъюнкции может быть сформулирована, в исчисление секвенций, следующим образом:

${\displaystyle (P\land Q)\vdash (Q\land P)}$

и

${\displaystyle (Q\land P)\vdash (P\land Q)}$

где ${\displaystyle \vdash }$ — значение металогического символа, такое, что ${\displaystyle (Q\land P)}$является синтаксическим следствием ${\displaystyle (P\land Q)}$ в одном случае, а ${\displaystyle (P\land Q)}$ является синтаксическим следствием ${\displaystyle (Q\land P)}$ в другом, в некоторой формальной системе.

или в форме правила вывода:

${\displaystyle {\frac {P\land Q}{\therefore Q\land P}}}$

и

${\displaystyle {\frac {Q\land P}{\therefore P\land Q}}}$

где действует правило, что везде, где есть экземпляр «${\displaystyle (P\land Q)}$» встречается в одной из строк доказательства, то его можно заменить на «${\displaystyle (Q\land P)}$», и где бы ни находился экземпляр «${\displaystyle (Q\land P)}$» появляется в строке доказательства, то может быть заменён на «${\displaystyle (P\land Q)}$»;

или как утверждение истинностно-функциональной тавтологии или теоремы логики высказываний:

${\displaystyle (P\land Q)\to (Q\land P)}$

и

${\displaystyle (Q\land P)\to (P\land Q)}$

где ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — пропозиции, выраженные в некоторой формальной системе.

Для любых пропозиций H₁, H₂, ... H_n и перестановки σ(n) чисел от 1 до n, справедливо, когда:

Ч ₁ ${\displaystyle \land }$Ч ₂ ${\displaystyle \land }$... ${\displaystyle \land }$ H_n

эквивалентно

H _σ(1) ${\displaystyle \land }$H _σ(2) ${\displaystyle \land }$H _σ(n).

Например, если H₁ это:

Идёт дождь

H₂ значит

Сократ смертен

и H₃ равен

2+2=4

тогда

Идёт дождь, и Сократ смертен, и 2+2=4

эквивалентно

Сократ смертен, а 2+2=4, и идёт дождь

и другие варианты порядка следования предикатов.

Предположим два высказывания:

• A: читать книгу.
• B: слушать музыку.

Теперь составим из них конъюнкцию, то есть высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба компонента:

• A и B: читать книгу и слушать музыку.

Но также можно поменять местами A и B, получив другую конъюнкцию:

• B и A: слушать музыку и читать книгу.

Заметим, что обе конъюнкции имеют одинаковое значение истинности, то есть они эквивалентны и конъюнкция коммутативна, то есть не зависит от порядка своих компонентов.

Формальная запись выглядит так:

• A и B = B и A

или, используя символы логики:

• A ⋀ B = B ⋀ A

Это утверждение является тавтологией, то есть всегда истинным независимо от значений A и B.