Комплекс (математика)

Компле́кс^[1] (от лат. compléxus — связь, сочетание) — одно из основных понятий комбинаторной топологии.

Комплексом называется частично упорядоченное правильным, рефлексивным и транзитивным отношением «${\displaystyle <}$» множество ${\displaystyle K}$ каких-либо элементов ${\displaystyle t}$, вместе с некими функциями ${\displaystyle \dim t}$ и ${\displaystyle [t:t']}$.

Целочисленная функция ${\displaystyle \dim t}$ называется размерностью элемента ${\displaystyle t}$, функция ${\displaystyle [t:t']}$ — коэффициентом инцидентности элементов ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle t'}$. Эти функции должны удовлетворять следующим условиям:

1. из ${\displaystyle t'<t}$ следует, что ${\displaystyle \dim t'<\dim t}$;
2. ${\displaystyle [t:t']=[t':t]}$;
3. из ${\displaystyle [t:t']\neq 0}$ следует, что либо ${\displaystyle t'<t}$, либо ${\displaystyle t<t'}$, и ${\displaystyle |\dim t-\dim t'|=1}$;
4. для любой пары элементов ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle t'}$ из ${\displaystyle K}$, для которых ${\displaystyle |\dim t-\dim t'|=2}$, в ${\displaystyle K}$ найдётся не более, чем конечное число таких элементов ${\displaystyle t''}$, что

${\displaystyle [t:t''][t'':t']\neq 0}$ и ${\displaystyle \sum _{t''}[t:t''][t'':t']=0}$.

При замене ${\displaystyle [t:t']}$ на ${\displaystyle a(t)a(t')[t:t']}$, где ${\displaystyle a(t)}$ — функция со значениями ±1, получается комплекс, отождествляемый с ${\displaystyle K}$. Таким образом, коэффициенты инциденции ${\displaystyle [t:t']}$ задаются с точностью до множителя ${\displaystyle a(t)a(t')}$. Переход от одного значения к другому называется переменой ориентации комплекса ${\displaystyle K}$.

Комплекс ${\displaystyle K}$ называется конечномерным (${\displaystyle n}$-мерным), если существует такое ${\displaystyle n}$, равное максимальной размерности симплексов из ${\displaystyle K}$; в противном случае, он называется бесконечномерным. Комплекс ${\displaystyle K}$ называется конечным, если множество его элементов конечно.

Звездой элемента ${\displaystyle t}$ комплекса ${\displaystyle K}$ называется множество всех таких элементов ${\displaystyle t'}$ из ${\displaystyle K}$, для которых выполняется условие ${\displaystyle t'>t}$.

Замыканием элемента ${\displaystyle t}$ из ${\displaystyle K}$ называется множество всех таких элементов ${\displaystyle t'}$ из ${\displaystyle K}$, что ${\displaystyle t'<t}$.

Границей элемента ${\displaystyle t}$ из ${\displaystyle K}$ называется множество всех таких элементов ${\displaystyle t'}$ из ${\displaystyle K}$, что одновременно ${\displaystyle t'<t}$ и ${\displaystyle t'\neq t}$.

Элемент ${\displaystyle t'}$ называется гранью элемента ${\displaystyle t}$ из ${\displaystyle K}$, если ${\displaystyle t'<t}$. При ${\displaystyle t'\neq t}$ грань ${\displaystyle t'}$ элемента ${\displaystyle t}$ называется истинной гранью.

Элементы ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle t'}$ из ${\displaystyle K}$ называются инцидентными, если ${\displaystyle t'<t}$ или ${\displaystyle t<t'}$.

Подкомплексом комплекса ${\displaystyle K}$ называется любое подмножество множества ${\displaystyle K}$, являющееся комплексом при тех же размерностях и коэффициентах инцидентности, что и комплекс ${\displaystyle K}$.

Подкомплекс называется замкнутым, если он содержит замыкание каждого своего элемента, и открытым, если он содержит звезду каждого своего элемента. Дополнение замкнутого комплекса есть открытый комплекс, и наоборот. Звезда каждого элемента любого комплекса является открытым подкомплексом, а замыкание и граница — замкнутыми подкомплексами.

${\displaystyle r}$-мерным остовом ${\displaystyle K^{r}}$ комплекса ${\displaystyle K}$ называется множество всех таких элементов ${\displaystyle t}$ из ${\displaystyle K}$, что ${\displaystyle \dim t\leqslant r}$. Остов является замкнутым подкомплексом.

Комплексы ${\displaystyle K={t}}$ и ${\displaystyle L}$ называется изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение ${\displaystyle f}$ множества ${\displaystyle K}$ на множество ${\displaystyle L}$, что ${\displaystyle \dim f(t)=\dim t}$ и ${\displaystyle [t:t']=[f(t):f(t')]}$:

${\displaystyle f\colon K\leftrightarrow L:\dim f(t)=\dim t\wedge [t:t']=[f(t):f(t')].}$

Важнейшим типом комплекса является симплициальный комплекс.

Симплициальный комплекс имеет две разновидности:

• абстрактный комплекс;
• геометрический комплекс.