Конечномерный оператор

Конечномерный оператор — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве, множество значений которого конечномерно.^[1]

• Любой линейный оператор, действующий в конечномерном пространстве, является конечномерным.
• Интегральный оператор Фредгольма ${\displaystyle (Af)(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)f(t)\,dt,}$ действующий в пространстве ${\displaystyle L_{2}[a,b]}$, с вырожденным ядром ${\displaystyle K(x,t)=\sum _{i=1}^{N}f_{i}(x)g_{i}(x)}$ является конечномерным^[2]. Действительно, его множество значений состоит из функций вида ${\displaystyle (Af)(x)=\sum _{i=1}^{N}c_{i}f_{i}(x)}$, где ${\displaystyle c_{i}=\int _{a}^{b}f(t)g_{i}(t)\,dt}$. Это конечномерное пространство с базисом ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{N}}$, если системы функций ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{N}}$ и ${\displaystyle \{g_{i}\}_{i=1}^{N}}$ линейно независимы.
• Частичные суммы ряда Фурье ${\displaystyle P_{n}f=\sum _{i=1}^{n}(f,\varphi _{i})\varphi _{i}}$ по ортогональной системе ${\displaystyle \{\varphi _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ в гильбертовом пространстве являются конечномерными операторами^[3].

Обобщением конечномерных операторов являются вполне непрерывные операторы, представляющие собой пределы последовательностей конечномерных операторов, сходящихся по норме. К вполне непрерывным операторам применима альтернатива Фредгольма, дающая развитие методов линейной алгебры для решения операторных уравнений.

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.. — М., 1976.
• Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, переработанное. — М.: Наука. — 520 с.