Константа Каэна

Константа Каэна — сумма знакочередующегося числового ряда, строящегося из членов ряда Сильвестра:

C=\sum {\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots

где $s_{i}$ — $i$ -й элемент последовательности Сильвестра. Приблизительное значение — 0,64341054629.

Названа по имени впервые исследовавшего данный ряд французского математика Эжена Каэна (фр. Eugène Cahen)^[1].

Может быть получена как сумма знакопостоянного ряда, образованного слагаемыми, обратными чётным членам последовательности Сильвестра (последовательностью приближений жадного алгоритма для египетских дробей):

C=\sum {\frac {1}{s_{2i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots

Константа трансцендентна^[2], притом является одним из немногих трансцендентных чисел, для которых известна полная цепная дробь — для последовательности 1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, …^[3], определённой рекуррентным уравнением $q_{n+2}=q_{n}^{2}q_{n+1}+q_{n}$ , цепная дробь, соответствующая константе Каэна, представляется следующим образом^[2]:

[0,1,q_{0}^{2},q_{1}^{2},q_{2}^{2},\ldots ]

Примечания

↑ Cahen, 1891.
↑ ¹ ² Davison, Shallit, 1991.
↑ последовательность A006279 в OEIS

Литература

Eugène Cahen. Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues // Nouvelles Annales de Mathématiques. — 1891. — Т. 10. — С. 508–514.
J. Les Davison, Jeffrey O. Shallit. Continued fractions for some alternating series // Monatshefte für Mathematik. — 1991. — Т. 111, вып. 2. — С. 119–126. — doi:10.1007/BF01332350.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Cahen's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
The Cahen constant to 4000 digits (неопр.). Plouffe's Inverter. Université du Québec à Montréal. Дата обращения: 19 марта 2011. Архивировано 17 марта 2011 года.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Пи (число)</span> математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра

$\text{[math]}$ — математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру. Числу «пи» также можно дать множество других определений, например это отношение полупериода функции $\text{[math]}$ к её максимальному значению. Обозначается буквой греческого алфавита «π». На июнь 2022 года известны первые 100 триллионов знаков числа «пи» после запятой.

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция $\text{[math]}$ комплексного переменного $\text{[math]}$ , при $\text{[math]}$ , определяемая с помощью ряда Дирихле:

\text{[math]}

Непрерывная дробь — это конечное или бесконечное математическое выражение вида

\text{[math]}

Производя́щая фу́нкция после́довательности — алгебраическое понятие, которое позволяет работать с разными комбинаторными объектами аналитическими методами. Они дают гибкий способ описывать соотношения в комбинаторике, а иногда помогают вывести явные формулы для числа комбинаторных объектов определённого типа.

Алгори́тм Евкли́да — эффективный алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Алгоритм назван в честь греческого математика Евклида, который впервые описал его в VII и X книгах «Начал». Это один из старейших численных алгоритмов, используемых в наше время.

$\text{[math]}$ — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число $\text{[math]}$ называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

<span class="mw-page-title-main">Ряд (математика)</span> понятие в математическом анализе

Ряд в математике — одно из центральных понятий математического анализа, математическая концепция, представляющая собой сумму бесконечного числа слагаемых, упорядоченных в определённой последовательности. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел:

\text{[math]}

Краткая запись:

\text{[math]}

(иногда нумерацию слагаемых начинают не с 1, а с нуля).

Рекуррентная формула — формула вида $\text{[math]}$ , выражающая каждый член последовательности $\text{[math]}$ через $\text{[math]}$ предыдущих членов и номер члена последовательности $\text{[math]}$ .

Постоя́нная Катала́на — число, встречающееся в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Чаще всего обозначается буквой G, реже — K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакочередующегося ряда:

\text{[math]}

Постоя́нная Апери́ — вещественное число, обозначаемое $\text{[math]}$ , которое равно сумме обратных к кубам целых положительных чисел и, следовательно, является частным значением дзета-функции Римана:

\text{[math]}

Мера иррациональности действительного числа $\text{[math]}$ — это действительное число $\text{[math]}$ , показывающее, насколько хорошо $\text{[math]}$ может быть приближено рациональными числами.

Биномиальное преобразование — последовательность преобразований или же преобразование последовательности, которая вычисляет её конечные разности. Понятие биномиального преобразования тесно связано с преобразованием Эйлера, которое является результатом применения биномиального преобразования к последовательности.

<span class="mw-page-title-main">Последовательность Сильвестра</span>

Последовательность Сильвестра — целочисленная последовательность, в которой каждый очередной член равен произведению предыдущих членов плюс единица. Первые несколько членов последовательности:

2, 3, 7, 43, 1807, 3 263 443, 10 650 056 950 807, 113 423 713 055 421 850 000 000 000, ….

Постоя́нная Хи́нчина — вещественная константа $\text{[math]}$ , равная среднему геометрическому элементов разложения в цепную дробь любого из почти всех вещественных чисел.

<span class="mw-page-title-main">Задача Знама</span>

В теории чисел задача Знама спрашивает, какие множества k целых чисел имеют свойство, что каждое целое в множестве является собственным делителем произведения других целых чисел в множестве плюс 1. Задача Знама названа по имени словацкого математика Стефана Знама, который предложил задачу в 1972, хотя другие математики рассматривали похожие задачи приблизительно в то же время. Близкая задача не требует, чтобы делитель был собственным делителем, и называется несобственной задачей Знама.

Теория диофантовых приближений — раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными; назван именем Диофанта Александрийского.

Практичное число или панаритмичное число — это положительное целое число n, такое что все меньшие положительные целые числа могут быть представлены в виде суммы различных делителей числа n. Например, 12 является практичным числом, поскольку все числа от 1 до 11 можно представить в виде суммы делителей 1, 2, 3, 4 и 6 этого числа — кроме самих делителей, мы имеем 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 и 11 = 6 + 3 + 2.

Число e открыл Якоб Бернулли в 1683 году. Более чем полвека спустя Эйлер, который был учеником младшего брата Якоба Иоганна, доказал, что е иррационально, то есть не может быть выражено в виде отношения двух целых чисел.

В математической теории нестандартных позиционных систем счисления константа Коморника — Лорети — это математическая константа, представляющая наименьшее основание q, для которого число 1 имеет уникальное представление, называемое его q-разверткой. Константа названа в честь Вилмоса Коморника и Паолы Лорети, которые дали ей определение в 1998 году.

Постоя́нная Га́усса — математическая константа, которая определяется как величина, обратная среднему арифметико-геометрическому от единицы и квадратного корня из 2:

\text{[math]}

(последовательность A014549 в OEIS)

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.