Конструктивный универсум

Конструктивным универсумом в теории множеств называется класс множеств, обозначаемый L и состоящий, неформально говоря, из множеств, которые можно определить с помощью формул в терминах более простых множеств. Все множества класса L образуют конструктивную иерархию, уровни которой индексируются ординалами. Данные термины были впервые введены Куртом Гёделем в 1938 году в работе "Непротиворечивость аксиомы выбора и обобщённой континуум-гипотезы".^[1] В этой работе было доказано, что конструктивный универсум является внутренней моделью^[англ.] теории множеств ZF, а также что аксиома выбора и обобщённая континуум-гипотеза истинны в этой модели, то есть они не противоречат другим аксиомам ZF. Это было важным результатом, поскольку доказательство многих других теорем опирается на предположение об истинности аксиомы выбора или континуум-гипотезы.

L можно себе представить как поступенчато строящийся класс, по аналогии с универсумом фон Неймана (который обозначается V). Уровни построения L индексируются ординалами. В отличие от построения V, где на каждом уровне множество V_α+1 включает в себя все подмножества V_α, при построении L в множество L_α+1 включаются лишь те подмножества L_α, которые одновременно:

• могут быть определены посредством формулы формального языка теории множеств;
• в качестве параметров формулы используются лишь множества, построенные на предыдущих уровнях;
• все кванторы в формуле понимаются как ограниченные по множеству L_α.

Более формально, обозначим

${\displaystyle \operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{y\mid y\in X\land (X,\in )\models \Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\}~{\Big |}~(\Phi {\text{ является формулой языка теории множеств }})\land (z_{1},\ldots ,z_{n}\in X){\Bigr \}}.}$

Тогда L определяется по трансфинитной рекурсии следующим образом:

• ${\displaystyle L_{0}:=\varnothing .}$
• ${\displaystyle L_{\alpha +1}:=\operatorname {Def} (L_{\alpha }).}$
• Если ${\displaystyle \lambda }$ — предельный ординал, то ${\displaystyle L_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }.}$
• ${\displaystyle L:=\bigcup _{\alpha \in \mathbf {Ord} }L_{\alpha }}$, где Ord обозначает класс всех ординалов.

Если z является элементом L_α, то z = {y | y ∈ L_α and y ∈ z} ∈ Def (L_α) = L_α+1. Поэтому L_α является подмножеством L_α+1, которое является подмножеством булеана L_α. Следовательно, уровни конструктивной иерархии образуют цепочку вложенных друг в друга транзитивных множеств. Но вся совокупность этих множеств L является собственным классом.

Элементы L называются конструктивными множествами, а сам класс L называется конструктивным универсумом. Аксиома конструктивности^[англ.], коротко записываемая "V=L", утверждает, что любое множество (из класса V) конструктивно, то есть лежит в классе L.

• Gödel, Kurt. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — National Academy of Sciences, 1938. — Vol. 24, no. 12. — P. 556—557. — doi:10.1073/pnas.24.12.556. — PMID 16577857. — JSTOR 87239. — PMC 1077160.
• Jech, Thomas^[англ.]. Set Theory (неопр.). — 3rd millennium. — Springer, 2002. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 3-540-44085-2.