Конус нормалей

Конус нормалей (англ. normal cone) — обобщение понятия нормали на случай множества с негладкой границей. Для построения конуса нормалей требуется только структура гильбертова пространства и выпуклость множества, к которому строится конус нормалей.

Понятие конуса нормалей широко используется в современной математике при описании контактной (негладкой) динамики.

Пусть в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ имеется выпуклое множество ${\displaystyle C\subset H}$ и точка ${\displaystyle x\in H}$. Конусом нормалей (внешним конусом нормалей) к множеству ${\displaystyle C}$ в точке ${\displaystyle x}$ называется множество ${\displaystyle N_{C}(x)\subset H}$, определенное по формуле:

${\displaystyle N_{C}(x)={\begin{cases}\{y\in H:(y,\xi -x)\leqslant 0\},&x\in C\\\phi ,&x\not \in C\end{cases}}}$

• В некоторых источниках определение конуса нормалей может содержать только формулировку для ${\displaystyle x\in C}$.
• Если ${\displaystyle x}$ лежит во внутренности ${\displaystyle C}$, то ${\displaystyle N_{C}(x)=\{0\}}$.
• Для выпуклого множества ${\displaystyle C\subset H}$ и точки ${\displaystyle x\in H}$ существует единственная ${\displaystyle y\in C}$, такая что

${\displaystyle \|x-y\|=\mathrm {dist} (x,C){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\inf\{\|x-\xi \|:\forall \xi \in C\}}$.

При этом пишут, что ${\displaystyle y=\mathrm {proj} (x,C)}$ или ${\displaystyle y=\mathrm {prox} (C,x)}$.

Для выпуклого множества ${\displaystyle C\subset H}$ и точки ${\displaystyle x\in H}$

${\displaystyle y=\mathrm {proj} (x,C)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x-y\in N_{C}(y)}$.

Конусом касательных^[англ.] называется полярный конус^[англ.] к конусу нормалей в данной точке ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle T_{K}(x)=N_{K}^{*}(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\{y\in V|\forall \xi \in N_{K}(x):\langle y,\xi \rangle \leqslant 0\}}$

• Гильбертово пространство
• Выпуклое множество
• Метрика Хаусдорфа

• Moreau J. J. Numerical aspects of the sweeping process // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 1999. — № 177. — С. 329—349. Архивировано 16 июня 2015 года.
• Markus Kunze, Manuel D. P. Monteiro Marques. An Introduction to Moreau’s Sweeping Process. Impacts in Mechanical Systems // Lecture Notes in Physics. — 2000. — P. 1—60.