Концептуальные программы в физике

Концептуальные программы в физике — принятые в физике наиболее общие математические модели. Различные области физики имеют различные программы для моделирования состояний физических систем.

Для простого случая одиночной частицы с массой m, движущейся вдоль одного измерения x и действующей на неё силой ${\displaystyle F_{i}}$, программа классической механики состоит в том, чтобы определить состояние ${\displaystyle x:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ путём решения уравнения второго закона Ньютона,^[1]

${\displaystyle m\,x''(t)=\sum _{i}F_{i}}$,

для ${\displaystyle x(t)}$ задаются начальные условия как для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, обычно ${\displaystyle x(0),x'(0)\in \mathbb {R} }$. Если силы консервативные, второй закон Ньютона принимает вид:

${\displaystyle m\,x''(t)=\sum _{i}-{\frac {\mathrm {d} U_{i}(x)}{\mathrm {d} x}}}$.

В 3 пространственных измерениях, состояние ${\displaystyle \mathbf {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3}}$ определяется путём решения уравнения второго закона Ньютона,

${\displaystyle m\,\mathbf {x} ''(t)=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}}$,

для ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ с соответствующими начальными условиями, обычно ${\displaystyle \mathbf {x} (0),\mathbf {x} '(0)\in \mathbb {R} ^{3}}$. Для системы из N частиц, закон Ньютона применим к каждой частице, ограничивая её общее состояние

${\displaystyle \mathbf {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3N}}$.

Точные решения существуют для многих важных систем. Для других систем применяют численные методы. Например, они были применены к большим системам, включая формирование Солнечной системы и планетарные атмосферы.

В лагранжевой механике для той же системы состояние ${\displaystyle \mathbf {q} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3N}}$ удовлетворяет принципу Гамильтона ${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \mathbf {q} (t)}}=0}$ где действие функционала определяется как

${\displaystyle S[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,\mathrm {d} t}$.

В гамильтоновой механике с каноническими координатами ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ и гамильтоновой функцией ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ состояние ${\displaystyle \mathbf {q} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3N}}$ определяется решением

${\displaystyle \mathbf {q} '(t)={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}\quad ,\quad \mathbf {p} '(t)=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}}$.

Для одной частицы с массой m, двигающейся вдоль оси x, под действием скалярного потенциала${\displaystyle U(x,t)}$, программа квантовой механики заключается в определении волновой функции ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} \to L_{2}(\mathbb {R} ^{1},\mathbb {C} )}$ где ${\displaystyle \psi (x,t)}$ удовлетворяет уравнению Шрёдингера,^[1]

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+U(x,t)\right]\psi (x,t)}$

с учётом конкретных начальных условий, например ${\displaystyle \psi (x,0)}$ в ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ^{1},\mathbb {C} )}$. Здесь, ${\displaystyle L_{2}(X,E)}$ обозначает подпространство L² или квадратично-интегрируемое подпространство пространства функций ${\displaystyle f:X\to E}$. В трёх измерениях со скалярным потенциалом ${\displaystyle U(\mathbf {x} ,t)}$ состояние ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} \to L_{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} )}$ удовлетворяет уравнению Шрёдингера,

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {x} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {x} ,t)\right]\psi (\mathbf {x} ,t)}$

для соответствующих начальных условий, например ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,0)}$ в ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} )}$. Строго говоря, пространство физически различных чистых состояний не является вышеупомянутым пространством L² но скорее лучом в проективном гильбертовом пространстве, что следует из теории представлений С*-алгебры. Были найдены точные решения для простых систем, таких как атом водорода, исключая гелий и более сложные атомы, в то время как существуют численные методы и применяются на молекулярном уровне.

Значения волновой функции координатного пространства выше являются координаты вектора состояния в координатном пространстве собственного базиса, выраженные как ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=\langle \mathbf {x} |\psi (t)\rangle }$. Временная эволюция вектора состояния порождается оператором Гамильтона ${\displaystyle {\hat {H}}}$, приводя к общему уравнению Шрёдингера ${\displaystyle i\hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$, формальным решением которого является унитарный оператор временной эволюции ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$,

${\displaystyle |\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}|\psi (0)\rangle }$.

Расширение следующей амплитуды перехода даёт интеграл пути, взятый по всем путям ${\displaystyle \mathbf {y} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3}}$ из ${\displaystyle \mathbf {y} (t_{1})=\mathbf {x} _{1}}$ в ${\displaystyle \mathbf {y} (t_{2})=\mathbf {x} _{2}}$,

${\displaystyle \langle \mathbf {x} _{2}|{\hat {U}}(t_{2}-t_{1})|\mathbf {x} _{1}\rangle =\langle \mathbf {x} _{2}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{2}-t_{1})}|\mathbf {x} _{1}\rangle =\int _{\mathbf {y} (t_{1})=\mathbf {x_{1}} }^{\mathbf {y} (t_{2})=\mathbf {x} _{2}}e^{{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {S}}[\mathbf {y} ]}\,{\mathcal {D}}\mathbf {y} }$,

и свёртка это с начальной волновой функцией даёт Лагранжеву формулировку квантовой механики через интегральную формулировку пути,^[2]

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} _{2},t_{2})=\int _{\mathbf {x} _{1}}\int _{\mathbf {y} (t_{1})=\mathbf {x_{1}} }^{\mathbf {y} (t_{2})=\mathbf {x} _{2}}e^{{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {S}}[\mathbf {y} ]}\,{\mathcal {D}}\mathbf {y} \,\psi (\mathbf {x} _{1},t_{1})\,\mathrm {d} \mathbf {x} _{1}}$.

В пределе ${\displaystyle \hbar \to 0}$ (т. е. как ${\displaystyle \hbar /mc}$ становится бесконечно меньше, чем характерная длина рассматриваемой области), относительный вклад пути ${\displaystyle \mathbf {y} }$, который удовлетворяет классическим уравнениям движения, становится бесконечным, и следовательно ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ будет транспортировать декогерентный волновой пакет, локализованный в ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ (напр. ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t_{1})\approx \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{1})}$) по своему классическому пути без квантовых эффектов, порождая принцип Гамильтона и программу классической механики выше.

Для поля в пространственных измерениях d с массой m и значением в V программа из квантовой теории поля^[3] в теории можно получить волновой функционал ${\displaystyle \Psi :\mathbb {R} \to L_{2}(\mathbb {R} ^{d}\to V,\mathbb {C} )}$ который удовлетворяет ${\displaystyle i\hbar \partial _{0}\Psi [\phi (\cdot ),t]={\hat {H}}\Psi [\phi (\cdot ),t]}$ с

${\displaystyle {\hat {H}}=\int \mathrm {d} ^{d}x\left[\partial _{0}{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ){\hat {\pi }}(\mathbf {x} )-{\mathcal {L}}[{\hat {\phi }},\mathbf {\partial } {\hat {\phi }}]\right]}$

учитывая подходящие начальные условия, гипотетически ${\displaystyle \Psi [\phi (\cdot ),0]:L_{2}(\mathbb {R} ^{d}\to V,\mathbb {C} )}$. Однако нахождение точного решения превосходит современные математические возможности для всех случаев, кроме распространения свободных частиц. На практике расчёты состоят из определения амплитуды рассеяния с помощью пертурбативных аппроксимаций или численного аппроксимирования соответствующих теорий поля на решётке.

Значения волнового функционала существуют в базисе операторов поля как ${\displaystyle \Psi [\phi (\cdot ),t]=\langle \phi (\cdot )|\Psi (t)\rangle }$, где состояние удовлетворяет уравнению ${\displaystyle i\hbar \partial _{0}|\Psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle }$. Расширение формального решения даёт интеграл пути, взятый по каждому пути в поле ${\displaystyle \chi :\mathbb {R} \to V^{\mathbb {R} ^{d}}}$ из ${\displaystyle \chi (t_{1})=\phi _{1}}$ в ${\displaystyle \chi (t_{2})=\phi _{2}}$,

${\displaystyle \langle \phi _{2}|e^{-i{\hat {H}}(t_{2}-t_{1})/\hbar }|\phi _{1}\rangle =\int _{\chi (t_{1})=\phi _{1}}^{\chi (t_{2})=\phi _{2}}e^{{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {S}}[\mathbf {\chi } ]}\,{\mathcal {D}}\mathbf {\chi } }$

и свёртка этого с начальным волновым функционалом даёт

${\displaystyle \Psi [\phi _{2},t_{2}]=\int _{\phi _{1}}\int _{\chi (t_{1})=\phi _{1}}^{\chi (t_{2})=\phi _{2}}e^{{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {S}}[\mathbf {\chi } ]}\,{\mathcal {D}}\mathbf {\chi } \,\Psi [\phi _{1},t_{1}]\,{\mathcal {D}}\phi _{1}}$.

В пределе ${\displaystyle \hbar \to 0}$ относительный вклад пути поля ${\displaystyle \chi }$, который удовлетворяет классическим уравнениям движения поля, и ковариантная классическая теория поля восстанавливается.

Каждое свободное квантовое поле ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$ может быть разложено с использованием его операторов рождения и уничтожения как

${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)={\hat {a}}(x)+{\hat {b}}^{\dagger }(x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{\mathbf {p} }}}}\left\{{\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-ip\cdot x/\hbar }+{\hat {b}}_{\mathbf {p} }e^{-ip\cdot x/\hbar }\right\}}$,

где операторы рождения и аннигиляции импульсного пространства интегрируются, чтобы получить операторно-значное распределение ${\displaystyle {\hat {a}}(x)}$ и ${\displaystyle {\hat {b}}(x)}$, и связь между моментом и энергией даёт ${\displaystyle (\hbar \omega _{\mathbf {p} })^{2}=E^{2}=\left(mc^{2}\right)^{2}+(pc)^{2}}$. В нерелятивистском пределе ${\displaystyle c\to \infty }$, таким образом получаем ${\displaystyle \hbar \omega _{\mathbf {p} }\approx E\approx mc^{2}}$ и фазу ${\displaystyle e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t}}$ и измеряемую величину ${\displaystyle (2\hbar \omega _{\mathbf {p} })^{-1/2}}$ множитель, приносящий

${\displaystyle {\hat {a}}(x)\to {\frac {e^{-imc^{2}t/\hbar }}{\sqrt {2mc^{2}}}}{\hat {A}}(x),\quad {\hat {b}}(x)\to {\frac {e^{-imc^{2}t/\hbar }}{\sqrt {2mc^{2}}}}{\hat {B}}(x)}$.

Следовательно, лагранжиан поля ${\displaystyle L=(\hbar c)^{2}\partial _{a}\phi \partial ^{a}\phi ^{\dagger }-(mc^{2})^{2}\phi \phi ^{\dagger }}$ сводится к

${\displaystyle L={\hat {A}}^{\dagger }(i\hbar \partial _{t}+{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}){\hat {A}}+{\hat {B}}^{\dagger }(i\hbar \partial _{t}+{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}){\hat {B}}+{\text{h.c.}}}$

поскольку операторы рождения и аннигиляции диссоциируют и ведут себя как два отдельных поля Шрёдингера (представляющих частицу и античастицу), занятые состояния которых каждое независимо подчиняется уравнению Шрёдингера и дают программу квантовой механики частиц выше.

Другие способы могут столкнуться с проблемами при определении локализованных состояний частиц в представлении Гейзенберга и нерелятивистском пределе, ${\displaystyle e^{imc^{2}t/\hbar }\langle \mathbf {k} |{\hat {\phi }}(x)|0\rangle }$ (with ${\displaystyle |\mathbf {k} \rangle }$ одночастичное состояние с импульсом ${\displaystyle \mathbf {k} }$) часто отождествляется с волновой функцией импульсного пространства, но оно не может быть локализовано. При попытке свести релятивистскую квантовую механику к нерелятивистской квантовой механике, хотя гамильтониан ${\displaystyle H=(\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4})^{1/2}}$ порождает Ньютон-вигнерский пропагатор и определяет скаляр Лоренца ${\displaystyle \psi }$, к сожалению этот пропагатор не является инвариантом Лоренца.