Координаты Якоби

В теории многочастичных систем координаты Якоби часто используются для упрощения математической формулировки. Эти координаты особенно распространены при рассмотрении многоатомных молекул и химических реакций^[3], а также в небесной механике^[4]. Алгоритм генерации координат Якоби для N тел может быть основан на двоичных деревьях^[5]. На словах алгоритм описывается следующим образом^[5]:

Пусть m_j и m_k — массы двух тел, заменяемых новым телом виртуальной массы M = m_j + m_k. Координаты положения тел x_j и x_k заменяются их относительным положением r_jk = x_j. − x_k и вектором к их центру масс R_jk = (m_jq_j + m_kq_k)/(m_j+m_k). Узел в двоичном дереве, соответствующий виртуальному телу, имеет m_j в качестве правого дочернего элемента и m_k в качестве левого дочернего элемента. Порядок дочерних элементов указывает относительные точки координат от x_k до x_j. Повторите вышеуказанный шаг для N − 1 тела, то есть N − 2 оригинальных тел плюс новое виртуальное тело.

Для задачи N тел результат таков^[2]:

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{j}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum _{k=1}^{j}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ -\ {\boldsymbol {x}}_{j+1}\,\quad j\in \{1,2,\dots ,N-1\}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}={\frac {1}{m_{0N}}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\,}$

где

${\displaystyle m_{0j}=\sum _{k=1}^{j}\ m_{k}\ .}$

Вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}}$ является центром масс всех тел и ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1}}$ — новая координата, между частицами 1 и 2:

Таким образом, в результате получается система из N-1 трансляционно-инвариантных координат ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N-1}}$ и координаты центра масс ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}}$ от итеративного сокращения системы двух тел в системе многих тел.

Этой замене координат был сопоставлен якобиан, равный ${\displaystyle 1}$.

Для оператора свободной энергии в этих координатах, можно получить выражение

${\displaystyle H_{0}=-\sum _{j=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\,\partial _{{\boldsymbol {x}}_{j}}^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0N}}}\,\partial _{{\boldsymbol {r}}_{N}}^{2}\!-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N-1}\!\left({\frac {1}{m_{j+1}}}+{\frac {1}{m_{0j}}}\right)\partial _{{\boldsymbol {r}}_{j}}^{2}}$

В расчётах может оказаться полезным следующее тождество

${\displaystyle \sum _{k=j+1}^{N}{\frac {m_{k}}{m_{0k}m_{0k-1}}}={\frac {1}{m_{0j}}}-{\frac {1}{m_{0N}}}}$ .