Коррелированное равновесие

Коррелированное равновесие (англ. correlated equilibrium) — концепция решения в теории игр, предложенная Робертом Ауманном в 1974 году^[1][2]. Обобщает равновесие Нэша, то есть всякое равновесное по Нэшу решение является и коррелированным равновесием (обратное в общем случае неверно). В основе концепции лежит идея о том, что игроки совершают действия после получения дополнительной информации, источником которой служит коррелирующее устройство (англ. correlating device). Поскольку стратегии игроков зависят от одного и того же сигнала, они коррелируют, чем и объясняется название концепции.

Выделяют объективное и субъективное виды коррелированного равновесия. Субъективное коррелированное равновесие эквивалентно концепции рационализируемости^[3].

Имеется игра в нормальной форме с N участниками, ${\displaystyle \displaystyle (N,A_{i},u_{i})}$. Игрок i характеризуется множеством действий ${\displaystyle A_{i}}$ и функцией полезности ${\displaystyle u_{i}}$. Модификацией стратегии i-го игрока называется функция ${\displaystyle \phi _{i}\colon A_{i}\to A_{i}}$, то есть правило, предписывающее игроку выбрать стратегию ${\displaystyle \phi _{i}(a_{i})}$ вместо ${\displaystyle a_{i}}$.

Пусть имеется счётное вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,\pi )}$. Для i-го игрока определены разбиение ${\displaystyle P_{i}}$ и апостериорное распределение ${\displaystyle q_{i}}$. Также имеется функция ${\displaystyle s_{i}\colon \Omega \rightarrow A_{i}}$, ставящая элементам одного блока одно и то же значение. Тогда кортеж ${\displaystyle ((\Omega ,\pi ),P_{i},s_{i})}$ является коррелированным равновесием игры ${\displaystyle (N,A_{i},u_{i})}$, если для каждого игрока ${\displaystyle i}$ и каждой модификации ${\displaystyle \phi _{i}}$ выполняется

${\displaystyle \sum _{\omega \in \Omega }q_{i}(\omega )u_{i}(s_{i}(\omega ),s_{-i}(\omega ))\geq \sum _{\omega \in \Omega }q_{i}(\omega )u_{i}\left(\phi _{i}\left(s_{i}(\omega )\right),s_{-i}(\omega )\right)}$

Иначе говоря, ${\displaystyle ((\Omega ,\pi ),P_{i})}$ есть коррелированное равновесие если ни один из игроков не сможет повысить ожидаемую полезность путём применения какой-либо модификации.