Коррелограммный метод

Коррелограммный метод — один из методов оценки спектральной плотности мощности сигнала.

Математическое ожидание случайной величины ${\displaystyle x(n)}$ (среднее) есть: ${\displaystyle E[x(n)]=\lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum \limits _{n=-N}^{N}x_{n}}$. Автокорреляционная функция определяется как скалярное произведение сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения т. н. корреляционного сдвига ${\displaystyle m}$: ${\displaystyle r_{xx}(m)=E[x(n+m)x(n)]}$.

Согласно теореме Винера-Хинчина автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности ${\displaystyle S(\omega )}$ связаны соотношением (преобразованием Фурье): ${\displaystyle S(\omega )=T\sum \limits _{m=-\infty }^{+\infty }r_{xx,m}e^{-j\omega mT}}$, где ${\displaystyle T}$ — интервал дискретизации. На практике для вычисления спектральной плотности мощности используют ограниченную сумму и некоторую оценку автокорреляционной функции. Например, можно использовать оценку ${\displaystyle r_{xx}^{1}={\frac {1}{N-m}}\sum \limits _{n=0}^{N-M-1}x_{n+m}x_{n}}$, которая является несмещенной (то есть ${\displaystyle E[r_{xx}^{1}]=r_{xx}}$). Также можно пользоваться смещенной оценкой: ${\displaystyle r_{xx}^{2}={\frac {1}{N}}\sum \limits _{n=0}^{N-M-1}x_{n+m}x_{n}}$, математическое ожидание которой ${\displaystyle E[r_{xx}^{2}]={\frac {N-m}{N}}r_{xx}}$. При наличии оценки (например, несмещенной) автокорреляционной функции для максимально возможного корреляционного сдвига ${\displaystyle L}$, вычисление спектральной плотности мощности выполняется по формуле: ${\displaystyle S_{1}(\omega )=T\sum \limits _{m=-L}^{L}r_{xx,m}^{1}e^{-j\omega mT}}$.

Коррелограммный метод дополняется умножением автокорреляционной функции на функцию весового окна ${\displaystyle w(m)}$: ${\displaystyle S_{1}(\omega )=T\sum \limits _{m=-L}^{L}r_{xx,m}^{1}w_{m}e^{-j\omega mT}}$.

• Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1985.
• Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. — М.: Мир, 1982.