Коэффициенты Клебша — Гордана

Коэффициенты Клебша — Гордана находят применение при описании взаимодействия квантовомеханических моментов импульса. Они представляют собой коэффициенты разложения собственных функций суммарного момента импульса по базису собственных функций суммируемых моментов импульса. Коэффициенты Клебша — Гордана применяются при вычислении спин-орбитального взаимодействия, а также в формализме изоспина.

Коэффициенты Клебша — Гордана названы в честь Альфреда Клебша (1833—1872) и Пауля Альберта Гордана (1837—1912).

См. также статью Оператор момента импульса.

Рассмотрим два момента импульса ${\displaystyle J_{1}}$ и ${\displaystyle J_{2}}$, которые обладают квантовыми числами ${\displaystyle j_{1}}$ и ${\displaystyle m_{1}}$ (${\displaystyle z}$-компонента) и ${\displaystyle j_{2}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$. При этом ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ принимают значения ${\displaystyle m_{1}=[-j_{1},\;\ldots ,\;j_{1}]}$ и ${\displaystyle m_{2}=[-j_{2},\;\ldots ,\;j_{2}]}$ соответственно. Моменты импульса коммутируют ${\displaystyle [J_{1},\;J_{2}]=0}$, что означает, что оба могут быть измерены одновременно с любой точностью. Каждому моменту импульса соответствует свой базис собственных функций (векторов): ${\displaystyle \left|j_{1},\;m_{1}\right\rangle }$ или ${\displaystyle \left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle }$. В базисе ${\displaystyle \left|j_{1},\;m_{1}\right\rangle }$ момент ${\displaystyle J_{1}}$ принимает простой диагональный вид, аналогично ${\displaystyle J_{2}}$ в базисе ${\displaystyle \left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle }$.

При взаимодействии, оба момента импульса ${\displaystyle J_{1}}$ и ${\displaystyle J_{2}}$ складываются в общий момент ${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {J_{1}}}+{\vec {J_{2}}}}$, который обладает квантовыми числами ${\displaystyle J}$ и ${\displaystyle M}$, принимающими следующие значения

${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant |j_{1}+j_{2}|}$ и ${\displaystyle M=[-J,\;\ldots ,\;J]}$ (с шагом 1).

Так как суммарный момент импульса состоит из двух отдельных моментов импульса ${\displaystyle J_{1}}$ и ${\displaystyle J_{2}}$, то он может быть разложен в пространстве произведения двух собственных пространств отдельных моментов:

${\displaystyle \left|j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle =\left|j_{1},\;m_{1}\right\rangle \otimes \left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle .}$

Однако вектора этого базиса не будут являться собственными векторами суммарного момента импульса ${\displaystyle {\vec {J}}}$ и его представление в этом базисе не будет иметь простой диагональной формы.

Собственные векторы момента ${\displaystyle {\vec {J}}}$ однозначно определяются квантовыми числами ${\displaystyle J}$, ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle j_{1}}$ и ${\displaystyle j_{2}}$. В базисе этих векторов суммарный момент ${\displaystyle J}$ принимает простую диагональную форму. А именно

${\displaystyle {\vec {J}}\,^{2}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =J(J+1)\hbar ^{2}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle ;}$

${\displaystyle J_{z}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =M\hbar \left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle .}$

Коэффициенты Клебша — Гордана дают переход путём унитарного преобразования от базиса произведения собственных пространств отдельных моментов ${\displaystyle \left|j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle }$ в базис собственных векторов ${\displaystyle \left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle }$.

${\displaystyle \left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =\sum _{m_{1},\;m_{2}}\left|j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle .}$

Здесь ${\displaystyle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle }$ являются коэффициентами Клебша — Гордана.

• Коэффициенты Клебша — Гордана равны нулю, если не выполнено одно из двух условий ${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant j_{1}+j_{2}}$ и ${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}}$:

${\displaystyle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle \neq 0\quad \Rightarrow \quad |j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant j_{1}+j_{2}\;\wedge \;M=m_{1}+m_{2}.}$

• Коэффициенты Клебша — Гордана задают действительными числами:

${\displaystyle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle \in \mathbb {R} .}$

• Коэффициент Клебша — Гордана при ${\displaystyle M=J}$ задают положительным:

${\displaystyle \langle j_{1},\;j_{1};\;j_{2},\;J-j_{1}\vert J,\;J,\;j_{1},\;j_{2}\rangle >0.}$

• Коэффициенты Клебша — Гордана равны по модулю при ${\displaystyle M=-M}$:

${\displaystyle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle =(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1},\;-m_{1};\;j_{2},\;-m_{2}\vert J,\;-M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle .}$

• Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:

${\displaystyle \sum _{m_{1},\;m_{2}}\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J',\;M',\;j_{1},\;j_{2}\rangle =\delta _{JJ'}\delta _{MM'}.}$

• Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:

${\displaystyle \sum _{J,\;M}\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle \langle j_{1},\;m'_{1};j_{2},\;m'_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle =\delta _{m_{1}m'_{1}}\delta _{m_{2}m'_{2}}.}$

Собственное состояние с ${\displaystyle J=j_{1}+j_{2}}$ и ${\displaystyle M=J}$ непосредственно получается в базисе произведения собственных пространств составляющих моментов (только один коэффициент равен 1, остальные нулю)

${\displaystyle |j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2},\;j_{1},\;j_{2}\rangle =|j_{1},\;j_{1};\;j_{2},\;j_{2}\rangle .}$

Применением оператора уменьшения ${\displaystyle J_{-}=J_{1\,-}+J_{2\,-}}$ можно получить состояния от ${\displaystyle |j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle }$ до ${\displaystyle |j_{1}+j_{2},\;-j_{1}-j_{2},\;j_{1},j_{2}\rangle }$, или же все состояния с ${\displaystyle J=j_{1}+j_{2}}$ и ${\displaystyle M=-J,\;\ldots ,\;J=-j_{1}-j_{2},\;\ldots ,\;j_{1}+j_{2}}$.

Состояние ${\displaystyle |j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle }$ можно получить из условия ортогональности к состоянию ${\displaystyle |j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle }$ и соглашению о том, что коэффициент Клебша — Гордана при ${\displaystyle M=J}$ является положительным.

Применением оператора уменьшения к ${\displaystyle J=j_{1}+j_{2}-1}$ можно опять получить все состояния с ${\displaystyle M=-j_{1}-j_{2}+1,\;\ldots ,\;j_{1}+j_{2}-1}$. Итеративно можно применять эту процедуру для всех ${\displaystyle J}$ до ${\displaystyle J=|j_{1}-j_{2}|}$.

На практике, вычисление коэффициентов Клебша — Гордана производится по формуле:

${\displaystyle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle ={\sqrt {2j+1}}{\sqrt {\Delta _{j_{1}j_{2}j}}}{\sqrt {\dfrac {(j_{1}+m_{1})!(j-m)!}{(j_{1}-m_{1})!(j_{2}+m_{2})!(j_{2}-m_{2})!(j+m)!}}}\times }$

${\displaystyle \times \sum _{s=\max(m_{1}+m_{2},\;j_{1}-j_{2})}^{j}{\dfrac {(-1)^{j_{1}+m_{2}-s}(j+s)!(j_{2}+s-m_{1})!}{(j-s)!(s-m_{1}-m_{2})!(s-j_{1}+j_{2})!(j_{1}+j_{2}+s+1)!}},}$

где

${\displaystyle \Delta _{j_{1}j_{2}j}={\frac {(j_{1}+j_{2}-j)!(j_{2}+j-j_{1})!(j+j_{1}+j_{2}+1)!}{(j_{1}-j_{2}+j)!}}.}$

Если ${\displaystyle j_{1}-j_{2}}$ — целое число, то суммирование в этой формуле ведётся по целым значениям ${\displaystyle s}$, а если ${\displaystyle j_{1}-j_{2}}$ — полуцелое число, то суммирование ведётся по полуцелым значениям ${\displaystyle s}$.

Рассмотрим группу ${\displaystyle G}$ и её представление. Выберем базисные вектора ${\displaystyle \psi _{\mu }^{(\alpha )}}$ и ${\displaystyle \psi _{\nu }^{(\beta )}}$ неприводимых представлений ${\displaystyle D^{(\alpha )}}$ и ${\displaystyle D^{(\beta )}}$ этой группы. Назовём неприводимым тензорным оператором (неприводимым тензором) совокупность ${\displaystyle f_{k}}$ операторов ${\displaystyle \{{\hat {F}}_{\chi }^{(k)}\}_{1}^{f_{k}}}$, если в результате преобразований ${\displaystyle g}$, образующих группу ${\displaystyle G}$, компоненты тензора ${\displaystyle {\hat {F}}_{\chi }^{(k)}}$ преобразуются друг через друга по неприводимым представлениям ${\displaystyle D^{(k)}}$ этой группы, то есть она удовлетворяет следующему соотношению:

${\displaystyle {\tilde {\hat {F}}}_{\chi }^{(k)}=\sum _{\chi '}D_{\chi '\chi }^{(k)}(g){\hat {F}}_{\chi '}^{(k)}.}$

Векторы ${\displaystyle |{\hat {F}}_{\chi }^{(k)}\psi _{\nu }^{(\beta )}\rangle }$, где ${\displaystyle \chi =1,\;2,\;\ldots ,\;f_{k};\;\nu =1,\;2,\;\ldots ,\;f_{\beta }}$ образуют базис представления ${\displaystyle D^{(k)}\times D^{(\beta )}}$. Это представление, вообще говоря, является приводимым. Поэтому его можно представить в виде линейных комбинаций базисных векторов неприводимых представлений ${\displaystyle D^{(\gamma )}}$, на которые разбивается прямое произведение представлений (указанное выше). Для этого используются обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle k\chi ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle }$.

${\displaystyle |{\hat {F}}_{\chi }^{(k)}\psi _{\nu }^{(\beta )}\rangle =\sum _{\gamma \rho }\langle k\chi ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle \{{\hat {F}}^{(k)}\psi ^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }.}$

Обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы определяются как коэффициенты в разложении базисных векторов неприводимых представлений ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\gamma )}}$ в линейную комбинацию прямого произведения представлений ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\alpha )}\times {\hat {D}}^{(\beta )}}$.

${\displaystyle \{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }=\sum _{\mu ,\;\nu }\langle \alpha \mu ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle V_{\mu }^{(\alpha )}V_{\nu }^{(\beta )},}$

где ${\displaystyle V_{\mu }^{(\alpha )},V_{\nu }^{(\beta )}}$ — базисные векторы представлений ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\alpha )},\;{\hat {D}}^{(\beta )}}$, а ${\displaystyle \{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }}$ — базисные векторы представления ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\gamma )}}$: ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\alpha )}\times {\hat {D}}^{(\beta )}=\sum _{\gamma }^{\oplus }a^{(\gamma )}{\hat {D}}^{(\gamma )}}$.

• Из определения коэффициентов Клебша — Гордана следует: ${\displaystyle V_{\mu }^{(\alpha )}V_{\nu }^{(\beta )}=\sum _{\gamma \rho }\langle \alpha \mu ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle \{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }}$.
• Коэффициенты Клебша — Гордана образуют унитарную матрицу.

• 3j-символ
• Теорема Вигнера — Эккарта

Таблица с примерами для некоторых значений ${\displaystyle j_{1}}$ и ${\displaystyle j_{2}}$ (PDF, 70 kB) (Примечание: в данной таблице подразумевается, что от значения коэффициента нужно взять квадратный корень)

• Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. — Издательство Литература, 1963.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — Наука, 1976. — 664 с.