Коэффициенты формул численного дифференцирования

В математике для приближённого вычисления производных заданной таблично функции можно искать выражение значений производных через известные значения функции с помощью подходящего набора коэффициентов. Для этого можно использовать различные интерполяционные формулы или метод неопределённых коэффициентов.

Пусть ${\displaystyle x_{0}}$ — точка, в которой необходимо вычислить производные достаточно гладкой функции ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh}$ — сетка равноотстоящих узлов с шагом ${\displaystyle h}$ и известны значения функции ${\displaystyle f}$ в этих узлах. В этом случае можно выразить формулы численного дифференцирования непосредственно через значения функции ${\displaystyle f}$ с помощью интерполяционной формулы Лагранжа. Такие формулы называются также безразностными, так как не требуют вычисления конечных или разделённых разностей^[1].

В зависимости от расположения точки ${\displaystyle x_{0}}$ в сетке узлов (слева, справа или посередине) различают соответственно коэффициенты, вычисленные «вперёд», «назад» и симметричные коэффициенты.

Для получения симметричных коэффициентов число узлов в сетке должно быть нечётным. Тогда порядок погрешности приближения будет чётным числом.

Например, третья производная с погрешностью второго порядка вычисляется как

${\displaystyle f'''(x_{0})={\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h^{3}}}+O\left(h^{2}\right)~.}$

Например, первая производная с погрешностью третьего порядка и вторая производная с погрешностью второго порядка вычисляются как

${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h}}+O\left(h^{3}\right)~,}$

${\displaystyle f''(x_{0})={\frac {2f(x_{0})-5f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3})}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)~.}$

Нетрудно видеть, что коэффициенты для погрешности первого порядка представляют собой биномиальные коэффициенты с меняющимися знаками, что соответствует общей формуле для восходящих конечных разностей.

Для получения коэффициентов назад необходимо обратить знаки у коэффициентов вперёд для производных нечётных порядков и зеркально отразить таблицу коэффициентов справа налево:

Например, первая производная с погрешностью третьего порядка и вторая производная с погрешностью второго порядка вычисляются как

${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h}}+O\left(h^{3}\right)~,}$

${\displaystyle f''(x_{0})={\frac {2f(x_{0})-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3})}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)~.}$

Для получения коэффициентов для произвольно расположенных узлов ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{N}}$ удобно использовать метод неопределённых коэффициентов^[2]. Для этого значение искомой производной порядка ${\displaystyle k}$ в точке ${\displaystyle x_{j}}$ записывается в виде

${\displaystyle f^{(k)}(x_{j})=\sum \limits _{i=0}^{N}c_{i}f(x_{i})+R(f)~,}$

где

${\displaystyle c_{i}}$ — неизвестные коэффициенты,

${\displaystyle R}$ — остаточный член интерполяции.

Коэффициенты ${\displaystyle c_{i}}$ подбираются из условия ${\displaystyle R(f)=0}$, которое должно выполняться для функций ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x^{2}}$,..., ${\displaystyle x^{N}}$. Получается следующая система линейных уравнений:

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}1&1&\ldots &1\\x_{0}&x_{1}&\ldots &x_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{0}^{k-1}&x_{1}^{k-1}&\ldots &x_{N}^{k-1}\\x_{0}^{k}&x_{1}^{k}&\ldots &x_{N}^{k}\\x_{0}^{k+1}&x_{1}^{k+1}&\ldots &x_{N}^{k+1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{0}^{N}&x_{1}^{N}&\ldots &x_{N}^{N}\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}c_{0}\\c_{1}\\\vdots \\c_{k-1}\\c_{k}\\c_{k+1}\\\vdots \\c_{N}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\0\\\vdots \\0\\k!\\(k+1)!x_{j}\\\vdots \\N(N-1)\ldots (N-k+1)x_{j}^{N-k}\end{array}}\right)~.}$

В этом случае погрешность вычислений будет иметь порядок ${\displaystyle N-k+1}$.

Матрица системы является матрицей Вандермонда, которая также возникает при решении общей задачи интерполяции многочленами.

• Калькулятор коэффициентов для произвольных сеток узлов (численно)

• Метод конечных разностей