Кратность критической точки

Кратность критической точки $C^{\infty }$ -гладкой функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — размерность так называемой локальной алгебры градиентного отображения этой функции в рассматриваемой точке.

Определение

Пусть $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — $C^{\infty }$ -гладкая функция от $n$ переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$ , имеющая $O\in \mathbb {R} ^{n}$ своей критической точкой. Соответствующее градиентное отображение $\nabla f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ задается формулой $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto (\partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n}).$ Введем следующие обозначения:

$\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ — алгебра формальных степенных рядов от переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$ с центром в $O.$
$I_{\nabla f}=(\partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n})$ — идеал в алгебре гладких функций, порожденный образующими $\partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n}.$

Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение $I_{\nabla f}$ в алгебру $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ . Локальной алгеброй градиентного отображения в точке $O$ называется факторалгебра $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{\nabla f},$ а её размерность $\mu =\dim \,\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{\nabla f}$ называется кратностью функции $f$ в точке $O.$

В случае, когда функции $\partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n}$ имеют в точке $O$ линейно независимые градиенты (это условие равносильно тому, что гессиан функции $f$ отличен от нуля), кратность $\mu =1$ , и критическая точка $O$ называется невырожденной. Удобно также положить $\mu =0$ в случае некритической точки.

Функции одной переменной

В этом случае $n=1$ , и кратность $\mu$ критической точки $O$ может быть определена условием:

{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(O)=0\quad (\forall i=1,\ldots ,\mu ),\quad {\frac {d^{\mu +1}f}{dx^{\mu +1}}}(O)\neq 0,

при этом значение $\mu =0$ соответствует некритической точке. Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции $\nabla f={\partial f}/{\partial x}$ начинается с члена $x^{\mu },$ то любой элемент $g\in \mathbb {R} [[x]]$ представим в виде $g=p_{\mu -1}+\alpha \cdot \nabla f$ , где $\alpha \in \mathbb {R} [[x]]$ и $p_{\mu -1}$ — многочлен степени $\mu -1,$ задаваемый $\mu$ коэффициентами, т.е. $\dim \,\mathbb {R} [[x]]/I_{\nabla f}=\mu .$

Теорема Тужрона в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности $\mu$ существуют координаты, в которых функция имеет вид

f(x)=x^{\mu +1}.

Функции нескольких переменных

В этом случае важной характеристикой критической точки $O$ является ранг $r$ матрицы Гессе $H(f)$ в точке $O$ .

Если $r=n$ , то (по лемме Морса) в окрестности точки $O$ функция $f(x)$ с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду

\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}^{2},\quad \alpha _{i}=\pm 1.

Если $r=n-1$ , то в окрестности точки $O$ функция $f(x)$ с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду

\sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}x_{i}^{2}+g(x_{n}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,

и, если кратность функции

g(x_{n})

равна

\mu <\infty

, то приводится к виду

\sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n}^{\mu +1},\quad \alpha _{i}=\pm 1,\quad 2\leq \mu <\infty .

Если $r=n-2$ , то в окрестности точки $O$ функция $f(x)$ с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду

\sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+g(x_{n-1},x_{n}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,

где ряд Тейлора функции

g(x_{n-1},x_{n})

начинается с мономов степени

\geq 3.

Если кубическая часть функции $g(x_{n-1},x_{n})$ имеет три различных (вещественных или комплексных) корня, то $f(x)$ приводится к виду

\sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n-1}x_{n}^{2}\pm x_{n}^{3},\quad \alpha _{i}=\pm 1.

Если кубическая часть функции $g(x_{n-1},x_{n})$ имеет два различных корня (один из них — кратный), то, при выполнении дополнительного условия общности положения, функция $f(x)$ приводится к виду

\sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n-1}x_{n}^{2}\pm x_{n}^{\mu +1},\quad \alpha _{i}=\pm 1,\quad 3\leq \mu <\infty .

Теорема деления

Пусть $f:\mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R}$ — гладкая функция от $n+1$ переменной $x,y_{1},\ldots ,y_{n}$ , имеющая точку $0\in \mathbb {R} ^{n+1}$ своей критической точкой конечной кратности $\mu \geq 0$ по переменной $x$ , т.е.

${\frac {\partial ^{i}f}{\partial x^{i}}}(0)=0\quad (\forall i=1,\ldots ,\mu ),\quad {\frac {\partial ^{\mu +1}f}{\partial x^{\mu +1}}}(0)\neq 0.\quad \ (*)$

Тогда в окрестности точки $0$ функция $f$ представима в виде

$f(x,y_{1},\ldots ,y_{n})=\varphi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})\cdot {\Bigl (}x^{\mu +1}+\sum _{i=0}^{\mu }a_{i}(y_{1},\ldots ,y_{n})x^{\mu -i}{\Bigr )},\quad \ (**)$

где $\varphi$ и $a_{i}$ — гладкие функции своих аргументов, $\varphi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})$ не обращается в нуль и $a_{i}(0,\ldots ,0)=0$ для всех $i<\mu$ .

Впервые эта теорема была доказа Вейерштрассом для голоморфных функций комплексных переменных^[1] (теорема деления по Вейерштрассу). Приведённый выше вещественный аналог часто называют теоремой деления по Мальгранжу или по Мазеру.

Критические точки отображений

Кратность критической точки $C^{\infty }$ -гладкого отображения $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},$ $n>1,$ — это размерность локальной алгебры данного отображения.

Пусть $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ — $C^{\infty }$ -гладкое отображение, имеющее $O\in \mathbb {R} ^{n}$ своей критической точкой. Отображение $f$ задается набором $n$ функций $f_{1},\ldots ,f_{n}$ от $n$ переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$ .

Введем следующие обозначения:

$\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ — алгебра формальных степенных рядов от переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$ с центром в $O.$
$I_{f}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$ — идеал в алгебре гладких функций, порожденный образующими $f_{1},\ldots ,f_{n}.$

Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение $I_{f}$ в алгебру $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ . Локальной алгеброй отображения в точке $O$ называется факторалгебра $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{f},$ а её размерность $\mu =\dim \,\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{f}$ называется кратностью отображения $f$ в точке $O.$

См. также

Лемма Морса. Теорема Тужрона

Литература

Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.
Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977.
Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, — М.: Мир, 1968.
Сборник статей: Особенности дифференцируемых отображений, — М.: Мир, 1968.
Паламодов В.П. О кратности голоморфного отображения, — Функц. анализ и его прил., 1:3 (1967), стр. 54–65.
Арнольд В. И. Замечание о подготовительной теореме Вейерштрасса, — Функц. анализ и его прил., 1:3 (1967), стр. 1–8.
Павлова Н.Г., Ремизов А.О. Введение в теорию особенностей. — М.: Изд-во МФТИ, 2022. — 181 с. — ISBN 978-5-7417-0794-4.

Примечания

↑ Weierstrass K. Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.