Кратный интеграл Римана

Примечание: всюду в данной статье, где используется знак ${\displaystyle \int }$ имеется в виду (кратный) интеграл Римана ${\displaystyle \left(R\right)\int }$, если не оговорено обратное;
всюду в данной статье, где говорится об измеримости множества, имеется в виду измеримость по Жордану, если не оговорено обратное.

Пусть ${\displaystyle A}$ - измеримое (по Жордану) множество. Разбиение ${\displaystyle T}$ множества ${\displaystyle A}$ - это любой набор ${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{m}}$ измеримых множеств, пересекающихся лишь по границам и ${\displaystyle \bigcup _{1}^{m}A_{i}=A}$. Выберем точки ${\displaystyle \xi _{i}\in A_{i},\ i=1,\ldots ,m,\ \xi =\left\{\xi _{i}\right\}_{i=1}^{m}}$ - получили ${\displaystyle (T,\xi )=\left\{A_{i},\xi _{i}\right\}_{i=1}^{m}}$ - разбиение с отмеченными точками.

Пусть функция ${\displaystyle f}$ определена на ${\displaystyle A}$, тогда интегральной суммой называется ${\displaystyle \sigma (f,T,\xi )=\sum _{k=1}^{m}f(\xi _{k})\mu A_{k}}$.

Функция ${\displaystyle f}$ интегрируема по Риману в кратном смысле на ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle I}$ - её интеграл, если ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0}$: для любого отмеченного разбиения ${\displaystyle (T,\xi )}$ с ${\displaystyle \xi _{i}\in {}A_{i}}$ и диаметром ${\displaystyle dA_{i}=\sup \limits _{x,\,y\in A_{i}}\rho (x,y)<\delta }$ выполняется неравенство ${\displaystyle \left|\sigma (f,T,\xi )-I\right|<\varepsilon }$. Обозначается интеграл от функции ${\displaystyle f}$ на измеримом множестве ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}}$.

1. Если функция ${\displaystyle f}$ интегрируема по Риману на измеримом множестве ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle \exists \delta >0}$, что функция ${\displaystyle f}$ ограничена на множестве ${\displaystyle A_{\delta }=\left\{x\in A:\ \rho (x,{\mbox{int}}A)<\delta \right\}}$, где ${\displaystyle {\mbox{int}}A}$ - внутренность ${\displaystyle A}$. (См. Связь интегрируемости по Риману и ограниченности).
2. Если функция ${\displaystyle f}$ интегрируема по Риману на измеримом множестве ${\displaystyle A}$, функция ${\displaystyle g}$ определена на ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ на ${\displaystyle A_{\delta }}$ для некоторого ${\displaystyle \delta >0}$, то ${\displaystyle g}$ интегрируема по Риману на ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}}$.
3. Линейность. Если ${\displaystyle f\in R(A)}$ (ограничена и интегрируема по Риману на ${\displaystyle A}$), то ${\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {R} }$ функция ${\displaystyle \alpha {}f\in R(A)}$ и ${\displaystyle \int \limits _{A}\alpha f\,d{\vec {x}}=\alpha \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}}$. Если ${\displaystyle f,g\in R(A)}$, то ${\displaystyle f\pm g\in R(A)}$ и ${\displaystyle \int \limits _{A}(f\pm g)\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\pm \int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}}$. Следует из свойств интеграла как предела по базе.
4. Аддитивность по множествам. Если ${\displaystyle f\in R(A)}$ и ${\displaystyle f\in R(B)}$, то ${\displaystyle f\in R(A\cup B)}$ и, если ${\displaystyle \mu (A\cap B)=0}$, то ${\displaystyle \int \limits _{A\cup B}f\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}+\int \limits _{B}f\,d{\vec {x}}}$. Первая часть следует из критерия Лебега.
5. Интегрируемость по подмножеству. Если ${\displaystyle f\in R(A)}$, ${\displaystyle B}$ - измеримое по Жордану подмножество ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle f\in R(B)}$. Следует из критерия Лебега.
6. Если ${\displaystyle f,g\in R(A)}$, то ${\displaystyle f*g\in R(A)}$. Следует из критерия Лебега.
7. Если ${\displaystyle f\in R(A)}$, функция ${\displaystyle \varphi }$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]\supset f(A)\Rightarrow \varphi (f)\in R(A)}$. Следует из критерия Лебега.
8. Если ${\displaystyle f\in R(A)}$, и ${\displaystyle f}$ изменить на множестве ${\displaystyle B\subset A,\ \mu B=0}$, то измененная функция ${\displaystyle {\tilde {f}}}$, при условии её ограниченности на ${\displaystyle A}$, также интегрируема по Риману на ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \int \limits _{A}{\tilde {f}}\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}}$.
9. Если ${\displaystyle f,g\in R(A)}$ и ${\displaystyle f(x)\leqslant g(x)}$ на ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\leqslant \int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}}$. Следует из свойств интеграла как предела по базе.
10. Если ${\displaystyle f\in R(A)}$, то ${\displaystyle \left|f\right|\in R(A)}$ и ${\displaystyle \left|\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\right|\leqslant \int \limits _{A}\left|f\right|\,d{\vec {x}}}$.
11. Если ${\displaystyle f\in R(A)}$, ${\displaystyle f(x)\geqslant 0}$ на ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle f(x_{0})>0,\ x_{0}}$ - внутренняя точка ${\displaystyle A}$ и точка непрерывности ${\displaystyle f}$, то ${\displaystyle \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}>0}$.

• Критерий интегрируемости Дарбу.

Ограниченная функция ${\displaystyle f}$ на измеримом множестве ${\displaystyle A}$ интегрируема по Риману ${\displaystyle \Leftrightarrow \ I_{*}(f)=I^{*}(f)}$, и в случае равенства: ${\displaystyle I_{*}(f)=I^{*}(f)=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}}$, где ${\displaystyle I_{*}}$ и ${\displaystyle I^{*}}$ - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу.

• Критерий интегрируемости Лебега.

Ограниченная ${\displaystyle f}$ на измеримом множестве ${\displaystyle A}$ интегрируема по Риману ${\displaystyle \Leftrightarrow \ f}$ непрерывна почти всюду на ${\displaystyle A}$.

• Теоремы о связи интеграла Римана и меры Жордана.
  • Теорема 1. Пусть ${\displaystyle A}$ - измеримое множество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\ E\subset A}$. Тогда измеримость по Жордану множества ${\displaystyle E\ \Leftrightarrow }$ характеристическая функция ${\displaystyle \chi _{E}}$ интегрируема по Риману на ${\displaystyle A}$, и в случае измеримости ${\displaystyle E}$ выполняется равенство: ${\displaystyle \mu E=\int \limits _{A}\chi _{E}\,d{\vec {x}}}$.
  • Теорема 2. Пусть ${\displaystyle A}$ - измеримое множество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, функция ${\displaystyle f({\vec {x}})\geqslant 0}$ на ${\displaystyle A}$. Пусть множество ${\displaystyle A_{f}=\left\{({\vec {x}},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\in A,\ 0\leqslant y\leqslant f({\vec {x}})\right\}}$. Тогда интегрируемость по Риману ограниченной функции ${\displaystyle f}$ на множестве ${\displaystyle A\ \Leftrightarrow }$ множество ${\displaystyle A_{f}}$ измеримо по Жордану в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$. При этом в случае измеримости ${\displaystyle A_{f}}$ выполняется равенство: ${\displaystyle \mu ^{n+1}A_{f}=\int \limits _{A}\,fd{\vec {x}}}$.
  • Следствие. Ограниченная на измеримом множестве ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ функция ${\displaystyle f}$ интегрируема по Риману на ${\displaystyle A\ \Leftrightarrow }$ множества ${\displaystyle A_{f}^{+}=\left\{({\vec {x}},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\in A,\ 0\leqslant y\leqslant f({\vec {x}})\right\}}$ и ${\displaystyle A_{f}^{-}=\left\{({\vec {x}},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\in A,\ f({\vec {x}})\leqslant y\leqslant 0\right\}}$ измеримы по Жордану в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$. И в случае их измеримости выполняется равенство: ${\displaystyle \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}=\mu ^{(n+1)}A_{f}^{+}-\mu ^{(n+1)}A_{f}^{-}}$.
• Теоремы о сведении кратных интегралов Римана в повторным.
  • Теорема. Пусть функция ${\displaystyle f\in R(\Pi )}$, где ${\displaystyle \Pi }$ - брус, являющийся произведением промежутков: ${\displaystyle \Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Пусть ${\displaystyle 1\leqslant m<n}$, для каждого ${\displaystyle {\vec {\xi }}\in \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n-m}}$, обозначим через ${\displaystyle I_{*}({\vec {\xi }})}$ и ${\displaystyle I^{*}({\vec {\xi }})}$ нижний и верхний интегралы Дарбу от ${\displaystyle f({\vec {x}}\,',{\vec {\xi }})}$ по ${\displaystyle {\vec {\xi }}\,'\in \mathbb {R} ^{m}}$ на ${\displaystyle \Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{m}}$. Тогда ${\displaystyle I_{*}({\vec {\xi }})}$ и ${\displaystyle I^{*}({\vec {\xi }})}$ интегрируемы по Риману на ${\displaystyle \Pi ^{''}}$ и ${\displaystyle \int \limits _{\Pi ^{''}}I_{*}({\vec {\xi }})\,d{\vec {\xi }}=\int \limits _{\Pi ^{''}}I^{*}({\vec {\xi }})\,d{\vec {\xi }}=\int \limits _{\Pi }f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}}$.
  • Следствие 1. Пусть ${\displaystyle f\in R(\Pi )}$, где ${\displaystyle \Pi }$ - брус, являющийся произведением промежутков: ${\displaystyle \Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n},\ 1\leqslant m<n.\ \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]}$. Пусть ${\displaystyle I({\vec {x}}\,''),\ {\vec {x}}\,''\in \Pi ^{''}}$, такая функция на ${\displaystyle \Pi ^{''}}$, что ${\displaystyle I_{*}({\vec {x}}\,'')\leqslant I({\vec {x}}\,'')\leqslant I^{*}({\vec {x}}\,'')\leqslant }$, где ${\displaystyle I_{*}({\vec {x}}\,'')}$ и ${\displaystyle I^{*}({\vec {x}}\,'')}$ - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу от ${\displaystyle f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')}$ при фиксированном ${\displaystyle {\vec {x}}\,''}$ по ${\displaystyle {\vec {x}}\,'}$ на ${\displaystyle \Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]}$. Тогда функция ${\displaystyle I({\vec {x}}\,'')}$ интегрируема по Риману на ${\displaystyle \Pi ^{''}}$ и ${\displaystyle \int \limits _{\Pi ^{''}}I({\vec {x}}\,')\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{\Pi }f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}}$.
  • Следствие 2. Пусть ${\displaystyle f\in R(\Pi )}$, где ${\displaystyle \Pi }$ - брус, являющийся произведением промежутков: ${\displaystyle \Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n},\ 1\leqslant m<n}$. Если ${\displaystyle \forall {\vec {x}}\,''\in \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n-m}}$, функция ${\displaystyle f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')}$ интегрируема по Риману на ${\displaystyle \Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{m}}$, то её интеграл ${\displaystyle \int \limits _{\Pi ^{'}}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}$ интегрируем по Риману на ${\displaystyle \Pi ^{''}}$ и ${\displaystyle \int \limits _{\Pi ^{''}}{\int \limits _{\Pi ^{'}}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{\Pi }f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}}$
  • Следствие 3. Пусть ${\displaystyle f\in R(A)}$. Обозначим через ${\displaystyle A^{''}}$ - проекцию множества ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-m},\ A^{''}=\left\{{\vec {x}}\,''\in \mathbb {R} ^{n-m}:\ \exists {\vec {x}}\,'\in \mathbb {R} ^{m},\right.}$ что ${\displaystyle \left.({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in A\right\},\ 1\leqslant m<n}$. Для ${\displaystyle {\vec {x}}\,''\in A}$ обозначим через ${\displaystyle A^{'}}$ - сечение множества ${\displaystyle A,\ A^{'}({\vec {x}}\,''=\left\{{\vec {x}}\,'\in \mathbb {R} ^{m}:\ ({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in A\right\}}$. Предположим, что ${\displaystyle A^{''}}$ и все ${\displaystyle A^{'}}$ - измеримые по Жордану множества в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-m}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ соответственно, причём для каждого ${\displaystyle {\vec {x}}\,''\in A^{''}}$ функция ${\displaystyle f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in R(A^{'}({\vec {x}}\,''))}$. Тогда ${\displaystyle \int \limits _{A^{'}({\vec {x}}\,'')}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}$ интегрируем на ${\displaystyle A^{''}}$ и ${\displaystyle \int \limits _{A^{''}}{\int \limits _{A^{'}({\vec {x}}\,'')}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{A}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}}$.

• Кратный интеграл
• Несобственный кратный интеграл Римана
• Одномерный интеграл Римана
• Интеграл Римана — Стилтьеса
• Интеграл Лебега
• Интеграл Мак-Шейна
• Интеграл Курцвейля — Хенстока
• Теорема Фубини
• Формула Ньютона — Лейбница
• Интеграл Даниэля