Критерий Дюлака

Перейти к навигации Перейти к поиску

Критерий Дюлака — теорема в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений и динамических систем, сформулированная французским математиком Анри Дюлаком. Представляет собой достаточное условие того, что в односвязной области на плоскости векторное поле не имеет замкнутых траекторий (циклов) и полициклов.

Формулировка

Векторное поле, имеющее замкнутую траекторию, внутри неё имеет область с положительной и область с отрицательной дивергенцией. На рисунке они изображены разными цветами.

Пусть на плоскости задано непрерывно дифференцируемое векторное поле, то есть система обыкновенных дифференциальных уравнений

{\dot {x}}=f(x,y),\,\,\,\,{\dot {y}}=g(x,y)

Если в односвязной области $D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ существует гладкая функция $B(x,y)$ , такая, что выражение

{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\partial x}}+{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot g(x,y)\right)}{\partial y}}

знакопостоянно и не обращается в ноль на $D$ , то в этой области не существует замкнутых кривых, состоящих из траекторий системы.^[1]

Функцию $B(x,y)$ называют функцией Дюлака. Частный случай критерия Дюлака с функцией $B(x,y)=1$ называется теорема Бендиксона об отсутствии замкнутых траекторий.

Доказательство

Без потери общности можно предположить, что в односвязной области $D$ существует функция $B(x,y)$ такая, что:

{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\partial x}}+{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot g(x,y)\right)}{\partial y}}>0

Пусть $C$ — замкнутая кривая, состоящая из одной или нескольких траекторий, которая ограничивает некоторую область $S\subset D$ . Тогда из теоремы Грина следует равенство

\iint _{S}{\left({\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\partial x}}+{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot g(x,y)\right)}{\partial y}}\right)dxdy}=\oint _{C}{\left(B(x,y)\cdot f(x,y)\,dy-B(x,y)\cdot g(x,y)\,dx\right)}=\oint _{C}{B(x,y)\left({\dot {x}}\,dy-{\dot {y}}\,dx\right)}.

Но, так как вдоль $C$ : $dx={\dot {x}}\,dt$ и $dy={\dot {y}}\,dt$ , то:

\oint _{C}{B(x,y)\left({\dot {x}}\,dy-{\dot {y}}\,dx\right)}=\oint _{C}{B(x,y)\left({\dot {x}}{\dot {y}}\,dt-{\dot {y}}{\dot {x}}\,dt\right)}=0

Это означает, что траектория $C$ не может быть замкнутой. ■

Примечания

↑ Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости (2-е изд., доп.) М.: Наука, 1990. Стр. 113 Архивная копия от 21 сентября 2022 на Wayback Machine

Литература

Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости (2-е изд., доп.) М.: Наука, 1990. 486 с.
Carmen Charles Chicone. Ordinary differential equations with applications
N. F. Britton. Essential mathematical biology
Henryk Zoladek. The monodromy group

Похожие исследовательские статьи

Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Си́ла Ло́ренца — сила, с которой электромагнитное поле, согласно классической (неквантовой) электродинамике, действует на точечную заряженную частицу. Иногда силой Лоренца называют силу, действующую на движущийся со скоростью $\text{[math]}$ заряд $\text{[math]}$ лишь со стороны магнитного поля, нередко же полную силу — со стороны электромагнитного поля вообще, иначе говоря, со стороны электрического $\text{[math]}$ и магнитного $\text{[math]}$ полей. В Международной системе единиц (СИ) выражается как:

Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории.

Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации и совместно с принципом стационарности действия используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Лагранжева механика — формулировка классической механики, введённая Луи Лагранжем в 1788 году. В лагранжевой механике траектория объекта получается при помощи отыскания пути, который минимизирует действие — интеграл от функции Лагранжа по времени. Функция Лагранжа для классической механики вводится в виде разности между кинетической энергией и потенциальной энергией.

Пове́рхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности, которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.

Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру $\text{[math]}$ и двойным интегралом по односвязной области $\text{[math]}$ , ограниченной этим контуром. Фактически, эта теорема является частным случаем более общей теоремы Стокса. Теорема названа в честь английского математика Джорджа Грина.

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

<span class="mw-page-title-main">Задача двух тел</span> задача классической механики на определение движения двух точечных частиц, которые взаимодействуют только друг с другом

В классической механике, задача двух тел состоит в том, чтобы определить движение двух материальных точек, которые взаимодействуют только друг с другом. Распространённые примеры включают спутник, обращающийся вокруг планеты, планета, обращающаяся вокруг звезды, две звезды, обращающиеся вокруг друг друга, и классический электрон, движущийся вокруг атомного ядра.

Скаля́рный потенциа́л векторного поля $\text{[math]}$ — это скалярная функция $\text{[math]}$ такая, что во всех точках области определения поля

\text{[math]}

Правило дифференцирования сложной функции позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.

Циркуля́цией ве́кторного по́ля по данному замкнутому контуру Γ называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по Γ. По определению

\text{[math]}

Теорема Бендиксона утверждает, что если дивергенция векторного поля на плоскости знакопостоянна и отлична от нуля в некоторой односвязной области, то отсутствуют замкнутые фазовые кривые этого поля, целиком лежащие в этой области. В частности, признак позволяет показать, что в области отсутствуют предельные циклы.

Зако́н электромагни́тной инду́кции Фараде́я является основным законом электродинамики, касающимся принципов работы трансформаторов, дросселей, многих видов электродвигателей и генераторов. Закон гласит:

Шестна́дцатая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков.

Интеграл, зависящий от параметра — математическое выражение, содержащее определённый интеграл и зависящее от одной или нескольких переменных («параметров»).

Ортогональные траектории — линии, пересекающие заданное семейство кривых под прямым углом. Если $\text{[math]}$ — угловой коэффициент касательной к ортогональной траектории, а $\text{[math]}$ — угловой коэффициент касательной к кривой данного семейства, то $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ должны в каждой точке удовлетворять условию ортогональности:

\text{[math]}

Обобщённые координаты — переменные состояния системы, описывающие конфигурацию динамической системы относительно некоторой эталонной конфигурации в аналитической механике, а конкретно исследовании динамики твёрдых тел в системе многих тел. Эти переменные должны однозначно определять конфигурацию системы относительно эталонной конфигурации. Обобщённые скорости — производные по времени обобщённых координат системы.

Нотация анализа — система математических обозначений, применяемая в математическом анализе, при этом различные математические школы применяют различные обозначения для производной функций или переменных. Использование той или иной нотации зависит от контекста, и одно обозначение может оказаться удобнее других в конкретном случае. Наиболее общеупотребительна нотация Лейбница, также широко используются нотации Лагранжа, Эйлера, Ньютона.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.