Критерий сходимости знакоположительных рядов

Критерий сходимости положительных рядов — основной признак сходимости положительных числовых рядов. Утверждает, что положительный ряд $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм $S(n)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ ограничена сверху.

Доказательство

С одной стороны, так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно, она ограничена. А значит она ограничена и снизу, и сверху.

Обратно, пусть дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Заметим, что последовательность частичных сумм неубывающая:

S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}\geqslant 0

Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности. Получим, что последовательность частичных сумм сходится (она монотонно не убывает и ограничена сверху), а потому ряд сходится по определению.

Литература

Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.

Признаки сходимости рядов
Для всех рядов	Необходимое условие Критерий Коши	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Для знакоположительных рядов	Основной критерий Признак сравнения Признак Куммера Признак Гаусса Радикальный признак Коши Интегральный признак Признак Д’Аламбера Степенной признак Логарифмический признак Признак Раабе Признак Бертрана Признак Жамэ Признак Шлёмильха Признак Ермакова Признак Лобачевского Телескопический признак Признак Сапогова
Для знакочередующихся рядов	Признак Лейбница
Для рядов вида $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Признак Абеля Признак Дедекинда Признак Дюбуа-Реймона Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса Теорема Дини
Для рядов Фурье	Признак Дини Признак Валле-Пуссена Признак Жордана Признак Юнга Признак Салема Признак Лебега Признак Лебега — Гергена Признак Марцинкевича

Похожие исследовательские статьи

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

<span class="mw-page-title-main">Ряд (математика)</span> понятие в математическом анализе

Ряд в математике — одно из центральных понятий математического анализа, математическая концепция, представляющая собой сумму бесконечного числа слагаемых, упорядоченных в определённой последовательности. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел:

\text{[math]}

Краткая запись:

\text{[math]}

(иногда нумерацию слагаемых начинают не с 1, а с нуля).

Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть:

\text{[math]}

Сходящийся ряд $\text{[math]}$ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей $\text{[math]}$ , иначе — сходящимся условно.

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.

Теорема о монотонной сходимости — это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории вероятностей, где служит инструментом для доказательства многих положений. Даёт одно из условий при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега, теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.

Действия с числовыми рядами — некоторые манипуляции с одним или несколькими числовыми рядами. Эти действия могут сохранять или нарушать вид сходимости.

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

\text{[math]}

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция $\text{[math]}$ .

Гармони́ческий ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

\text{[math]}

Признак Куммера — общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Эрнстом Куммером.

Необходимое условие сходимости ряда :

Для сходимости ряда $\text{[math]}$ необходимо, чтобы последовательность $\text{[math]}$ была бесконечно малой.

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Знакочередующийся ряд натуральных чисел — знакочередующийся ряд, слагаемые которого по модулю представляют собой последовательные натуральные числа и имеют чередующийся знак: 1 − 2 + 3 − 4 + …. Частичная сумма с номером m этого ряда описывается выражением:

\text{[math]}

Сходимость по Чезаро — обобщение понятия сходимости числовых и функциональных рядов, введённое итальянским математиком Эрнесто Чезаро. Фактически существует целое семейство определений, зависящих от параметра k. Сначала сходимость была определена Чезаро для целых положительных значений параметра k и применена ко множеству рядов. Позднее понятие сходимости по Чезаро было расширено на произвольные значения k, в том числе и на комплексные. Методы нахождения суммы по Чезаро имеют многочисленные приложения: при умножении рядов, в теории рядов Фурье и других вопросах.

Телескопический признак — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Огюстеном Коши в 1821 году.

Двойной ряд — числовая последовательность, элементы которой занумерованы парами целых положительных чисел (индексов), рассматриваемая совместно с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм ряда.

При́знаки сходи́мости числового ряда — методы, позволяющие установить сходимость или расходимость бесконечного ряда $\text{[math]}$

Признак Сапогова — признак сходимости числового ряда, предложенный Николаем Александровичем Сапоговым.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.