Кулоновская волновая функция

В математике кулоновская волновая функция — это решение уравнения для кулоновских функций, названного в честь Шарля Огюстена де Кулона. Кулоновские функции используются для описания поведения заряженных частиц в кулоновском потенциале и могут быть записаны в терминах конфлюэнтных гипергеометрических функций^[англ.] или функций Уиттекера^[англ.] комплексного аргумента.

Уравнение для кулоновских функций для заряженной частицы массы ${\displaystyle m}$ представляет собой уравнение Шрёдингера в кулоновском потенциале^[1]

${\displaystyle \left(-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\frac {Z\hbar c\alpha }{r}}\right)\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})\,,}$

где ${\displaystyle Z=Z_{1}Z_{2}}$ — произведение зарядов частицы и источника поля (в единицах элементарного заряда, ${\displaystyle Z=-1}$ для атома водорода), ${\displaystyle \alpha }$ — постоянная тонкой структуры и ${\displaystyle \hbar ^{2}k^{2}/(2m)}$ — энергия частицы. Решение данного уравнения (т. е. сами кулоновские функции) можно найти, решая уравнение в параболических координатах

${\displaystyle \xi =r+{\vec {r}}\cdot {\hat {k}},\quad \zeta =r-{\vec {r}}\cdot {\hat {k}}\qquad ({\hat {k}}={\vec {k}}/k)\,.}$

В зависимости от граничных условий решение принимает различный вид. В частности, решениями уравнения являются функции^[2][3]

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})=\Gamma (1\pm i\eta )e^{-\pi \eta /2}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}M(\mp i\eta ,1,\pm ikr-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})\,,}$

где ${\displaystyle M(a,b,z)\equiv {}_{1}\!F_{1}(a;b;z)}$ — конфлюэнтная гипергеометрическая функция^[англ.], ${\displaystyle \eta =Zmc\alpha /(\hbar k)}$, а ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — гамма-функция. Здесь использованы граничные условия

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})\rightarrow e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\qquad ({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\rightarrow \pm \infty )\,,}$

соответствующие ориентированным вдоль вектора ${\displaystyle {\vec {k}}}$ плосковолновым асимптотическим состояниям, которые отвечают соответственно моментам до и после приближения частицы к источнику поля в начале координат. Функции ${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}}$ связаны между собой соотношением

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}=\psi _{-{\vec {k}}}^{(-)*}\,.}$

Волновую функцию ${\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})}$ можно разложить по парциальным волнам, при этом мы получим не зависящие от угла радиальные функции ${\displaystyle w_{\ell }(\eta ,\rho )}$. Здесь и далее ${\displaystyle \rho =kr}$.

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,.}$

Каждый конкретный член разложения можно получить, найдя скалярное произведение волновой функции со сферической функцией, т. е.

${\displaystyle \psi _{k\ell m}({\vec {r}})=\int \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})Y_{\ell }^{m}({\hat {k}})d{\hat {k}}=R_{k\ell }(r)Y_{\ell }^{m}({\hat {r}}),\qquad R_{k\ell }(r)=4\pi i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )/r.}$

Уравнение для парциальной волны ${\displaystyle w_{\ell }(\eta ,\rho )}$ можно получить, записав гамильтониан в уравнении для кулоновских функций в сферических координатах и проецируя уравнение на сферическую функцию ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}w_{\ell }}{d\rho ^{2}}}+\left(1-{\frac {2\eta }{\rho }}-{\frac {\ell (\ell +1)}{\rho ^{2}}}\right)w_{\ell }=0\,.}$

Решения данного уравнения называются кулоновскими (парциальными) волновыми функциями или сферическими кулоновскими функциями. Если положить ${\displaystyle z=-2i\rho }$, то уравнение для кулоновских функций превратится в уравнение Уиттекера^[англ.], поэтому кулоновские функции могут быть записаны в терминах функций Уиттекера с мнимыми аргументами ${\displaystyle M_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}$ и ${\displaystyle W_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}$. Последнюю функцию можно выразить через конфлюэнтные гипергеометрические функции^[англ.] ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle U}$. Для ${\displaystyle \ell \in \mathbb {Z} }$ определим функции^[4]

${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )=\mp 2i(-2)^{\ell }e^{\pi \eta /2}e^{\pm i\sigma _{\ell }}\rho ^{\ell +1}e^{\pm i\rho }U(\ell +1\pm i\eta ,2\ell +2,\mp 2i\rho )\,,}$

где

${\displaystyle \sigma _{\ell }=\arg \Gamma (\ell +1+i\eta )}$

называется кулоновской фазой рассеяния. Также можно определить действительные функции

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2i}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )-H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,,}$

${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )+H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,.}$

В частности,

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {2^{\ell }e^{-\pi \eta /2}|\Gamma (\ell +1+i\eta )|}{(2\ell +1)!}}\rho ^{\ell +1}e^{i\rho }M(\ell +1+i\eta ,2\ell +2,-2i\rho )\,.}$

Асимптотическое поведение кулоновских функций ${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}$, ${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}$ и ${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}$ при больших ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )\sim e^{\pm i\theta _{\ell }(\rho )}\,,}$

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \sin \theta _{\ell }(\rho )\,,}$

${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \cos \theta _{\ell }(\rho )\,,}$

где

${\displaystyle \theta _{\ell }(\rho )=\rho -\eta \log(2\rho )-{\frac {1}{2}}\ell \pi +\sigma _{\ell }\,.}$

Решения ${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}$ соответствуют расходящейся и сходящейся сферическим волнам. Решения ${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}$ and ${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}$ являются действительными и называются регулярной и нерегулярной кулоновскими функциями. Справедливо следующее разложение волновой функции ${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})}$ по парциальным волнам^[5]

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{\rho }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }e^{i\sigma _{\ell }}F_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,,}$

Радиальные функции с заданным угловым моментом ортогональны. При выборе нормировки на волновое число ${\displaystyle k}$ радиальные функции континуума удовлетворяют^[6][7]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (k-k')}$

Другими часто встречающимися нормировками является нормировка на приведённое волновое число (${\displaystyle k/2\pi }$-scale)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=2\pi \delta (k-k')\,,}$

и также нормировка на энергию

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{E\ell }^{\ast }(r)R_{E'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (E-E')\,.}$

Радиальные функции, определённые в предыдущем разделе, нормированы следующим образом

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr={\frac {(2\pi )^{3}}{k^{2}}}\delta (k-k')}$

как следствие нормировки

${\displaystyle \int \psi _{\vec {k}}^{\ast }({\vec {r}})\psi _{{\vec {k}}'}({\vec {r}})d^{3}r=(2\pi )^{3}\delta ({\vec {k}}-{\vec {k}}')\,.}$

Кулоновские функции континуума (или рассеяния) также ортогональны по отношению ко всем связанным кулоновским состояниям^[8]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{n\ell }(r)r^{2}dr=0,}$

так как являются собственными состояниями одного и того же эрмитова оператора (гамильтониана), имеющими разные собственные значения.

• Bateman, Harry (1953), Higher transcendental functions (PDF), vol. 1, McGraw-Hill.
• Jaeger, J. C.; Hulme, H. R. (1935), "The Internal Conversion of γ -Rays with the Production of Electrons and Positrons", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 148 (865): 708—728, Bibcode:1935RSPSA.148..708J, doi:10.1098/rspa.1935.0043, ISSN 0080-4630, JSTOR 96298
• Slater, Lucy Joan (1960), Confluent hypergeometric functions, Cambridge University Press, MR 0107026.