Лемма Адамара

Лемма Адамара (англ. Hadamard's lemma, фр. Lemme de Hadamard) — утверждение, описывающее строение гладкой вещественной функции. Названа в честь французского математика Жака Адамара^[1].

Пусть $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — функция класса $C^{r}$ , где $r\geqslant 1$ , определённая в выпуклой окрестности $U$ точки $0$ . Тогда существуют такие функции $g_{1},\;\ldots ,\;g_{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ класса $C^{r-1}$ , определённые в $U$ , что для всех $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\in U$ имеет место равенство^[1]

f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=f(0)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,\;g_{i}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}),\quad g_{i}(0)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0).

Если функция $f$ — аналитическая, то и функции $g_{1},\;\ldots ,\;g_{n}$ в приведенной выше формуле аналитические.

Обобщенная формулировка

Лемма Адамара может быть сформулирована в более общей форме, когда часть переменных играет роль параметров:

Пусть $f(x,\,y)\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ — функция класса $C^{r}$ , где $r\geqslant 1$ , определённая в выпуклой окрестности $U$ точки $0$ , при этом $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})$ и $y=(y_{1},\;\ldots ,\;y_{m})$ . Тогда существуют такие функции $g_{1}(x,\,y),\;\ldots ,\;g_{n}(x,\,y)\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ класса $C^{r-1}$ , определённые в $U$ , что для всех $(x,\,y)\in U$ имеет место равенство

f(x,\,y)=f(0,\,y)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,\;g_{i}(x,\,y),\quad g_{i}(0,\,y)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0,\,y).

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательную функцию $f(tx,\,y)=f(tx_{1},\,\ldots ,\,tx_{n},\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ , где $t$ — дополнительная вещественная переменная (параметр). Пусть $t$ пробегает значения из отрезка $[0,\,1]$ , тогда функция $f(tx,\,y)$ , рассматриваемая как функция $\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R}$ при каждом фиксированном значении параметра $t$ , пробегает в пространстве функций от $n+m$ переменных некоторую кривую с концами $f(0,\,y)$ и $f(x,\,y)$ .

Рассматривая $f(tx,\,y)$ как функцию переменной $t$ , зависящую от параметров $x\in R^{n}$ и $y\in R^{m}$ , и применяя формулу Ньютона — Лейбница, можно записать:

f(x,\,y)-f(0,\,y)=\int _{0}^{1}{\frac {df(tx,\,y)}{dt}}\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,\,y)\,dt=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x,\,y),

где

g_{i}(x,\,y):=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,\,y)\,dt.

Требуемая гладкость функций $g_{i}(x,\,y)$ следует из известной теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, которая доказывается в курсе математического анализа.

Применения

Лемма Адамара позволяет получить ряд полезных следствий, находящих применения в разных разделах математики, в первую очередь, в теории особенностей.

С помощью леммы Адамара легко доказывается Лемма Морса.
Другое полезное следствие леммы Адамара (в её обобщённом виде) состоит в том, что если росток гладкой функции $f(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ обращается в нуль на гиперплоскости $x=0$ , то он представим в виде $f=x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),$ где $g$ — некоторая гладкая функция.
Отсюда вытекает, что для ростка любой гладкой функции $f(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ имеет место представление $f=f_{0}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),$ где $f_{0}=f(0,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ и $g$ — гладкие функции.
Применяя индукцию, отсюда нетрудно получить также более общее представление:

f=f_{0}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x\,f_{1}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+\ldots +x^{n}\,f_{n}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x^{n+1}\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),

где $f_{i}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ и $g$ — гладкие функции и $n$ — произвольное натуральное число.

См. также

Формула Тейлора
Лемма Морса

Примечания

↑ ¹ ² Зорич В.А. Математический анализ.

Литература

Зорич В.А. Математический анализ.
Павлова Н.Г., Ремизов А.О. Введение в теорию особенностей. — М.: Изд-во МФТИ, 2022. — 181 с. — ISBN 978-5-7417-0794-4.

[autogenerated1-1] ¹ ² Зорич В.А. Математический анализ.

[1]