Лемма Адамара (англ. Hadamard's lemma, фр. Lemme de Hadamard) — утверждение, описывающее строение гладкой вещественной функции. Названа в честь французского математика Жака Адамара[1].
Пусть — функция класса , где , определённая в выпуклой окрестности точки . Тогда существуют такие функции класса , определённые в , что для всех имеет место равенство[1] 
|
Если функция
— аналитическая, то и функции
в приведенной выше формуле аналитические.
Обобщенная формулировка
Лемма Адамара может быть сформулирована в более общей форме, когда часть переменных играет роль параметров:
Пусть — функция класса , где , определённая в выпуклой окрестности точки , при этом и . Тогда существуют такие функции класса , определённые в , что для всех имеет место равенство 
|
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функцию
, где
— дополнительная вещественная переменная (параметр). Пусть
пробегает значения из отрезка
, тогда функция
, рассматриваемая как функция
при каждом фиксированном значении параметра
, пробегает в пространстве функций от
переменных некоторую кривую с концами
и
.
Рассматривая
как функцию переменной
, зависящую от параметров
и
, и применяя формулу Ньютона — Лейбница, можно записать:

где

Требуемая гладкость функций
следует из известной теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, которая доказывается в курсе математического анализа.
Применения
Лемма Адамара позволяет получить ряд полезных следствий, находящих применения в разных разделах математики, в первую очередь, в теории особенностей.
- С помощью леммы Адамара легко доказывается Лемма Морса.
- Другое полезное следствие леммы Адамара (в её обобщённом виде) состоит в том, что если росток гладкой функции
обращается в нуль на гиперплоскости
, то он представим в виде
где
— некоторая гладкая функция. - Отсюда вытекает, что для ростка любой гладкой функции
имеет место представление
где
и
— гладкие функции. - Применяя индукцию, отсюда нетрудно получить также более общее представление:

где
и
— гладкие функции и
— произвольное натуральное число.
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 Зорич В.А. Математический анализ.
Литература