Лемма Безиковича о покрытиях

Лемма Безиковича о покрытиях — классический результат комбинаторной геометрии важный в теории меры и близкий к лемме Витали.

Доказана Абрамом Безиковичем в 1945 году.

Формулировка

Для любого натурального $n$ существует такое натуральное $M=M(n)$ , что верно следующее. Пусть ${\mathfrak {B}}$ — произвольное множество замкнутых шаров в $\mathbb {R} ^{n}$ с радиусами не больше 1. Тогда можно выбрать не более чем счётный набор шаров ${\mathfrak {B}}'\subset {\mathfrak {B}}$ , такой что центр любого шара из ${\mathfrak {B}}$ принадлежит хотя бы одному шару из ${\mathfrak {B}}'$ и при этом семейство ${\mathfrak {B}}'$ можно разбить на $M$ подсемейств с попарно непересекающимися шарами в каждом.

Замечания

Восемь попарно пересекающихся кругов не содержащих центры друг друга.

Можно предположить, что $M(n)=5^{n}$ .
Оптимальная константа не известна даже для плоскости; нижняя оценка 8 (следует из примера на рисунке) и верхняя 19.^[1]^[2]

Применения

Область применений леммы Безиковича близка к области применений леммы Витали. Но лемма Безиковича применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств, включая евклидово пространство, в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер $\mu$ обладающих свойством удвоения. Последнее означает, что для некоторой вещественной константы $C$ и произвольного шара $B$ имеем

\mu (2\cdot B)\leq C\cdot \mu (B)

Вариации и обобщения

Достаточным условием для выполнения леммы Безиковича в метрическом пространстве является так называемая ограниченность по направлениям. Это свойство ввёл в рассмотрение Герберт Федерер.^[3]

Примечания

↑ *A. Malnic and B. Mohar. Two results on an antisocial families of balls // Proc. of the Fourth Czechoslovakian Sympos. on Combinatorics, Graphs and Complexity (Prachatice, 1990). — С. 205-207.
↑ *E. F. Reifenberg. A problem on circles // Math. Gaz.. — 1948. — Т. 32. — С. 290-292.
↑ смотри 2.8.9 в книге Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.

Литература

С. В. Иванов, Введение в геометрическую теорию меры лекции 2008.
Besicovitch, A. S. (1945), "A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, I", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 41 (02): 103—110, doi:10.1017/S0305004100022453.
- "A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, II", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 42: 205—235, 1946.
DiBenedetto, E (2002), Real analysis, Birkhäuser, ISBN 0-8176-4231-5.

Похожие исследовательские статьи

Топологи́ческое простра́нство — множество, для элементов которого определено, какие из них близки друг к другу. Является центральным понятием общей топологии.

Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.

Ме́ра мно́жества — числовая характеристика множества, интуитивно её можно понимать как массу множества при некотором распределении массы по пространству. Понятие меры множества возникло в теории функций вещественной переменной при развитии понятия интеграла.

Заряд — вещественнозначная конечно-аддитивная функция множества, определённая на некоторой $\text{[math]}$ -алгебре,.

Свёртка, конволюция — операция в функциональном анализе, которая при применении к двум функциям $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ возвращает третью функцию, соответствующую взаимнокорреляционной функции $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . Операцию свёртки можно интерпретировать как «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на произвольных измеримых пространствах, и может рассматриваться как особый вид интегрального преобразования. В дискретном случае свёртка соответствует сумме значений $\text{[math]}$ с коэффициентами, соответствующими смещённым значениям $\text{[math]}$ , то есть $\text{[math]}$

Ме́ра Лебе́га на $\text{[math]}$ — мера, обобщающая понятия длины отрезка, площади фигуры и объёма тела на произвольное $\text{[math]}$ -мерное евклидово пространство. Говоря более формально, мера Лебега является продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств.

<span class="mw-page-title-main">Интеграл Лебега</span>

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.

<span class="mw-page-title-main">Теорема Лёвенгейма — Скулема</span>

Теоремы Лёвенгейма — Скулема — несколько теорем теории моделей, утверждающих существование моделей разных мощностей для теорий первого порядка. Различаются следующие теоремы:

Теорема Лёвенгейма — Скулема, слабый вариант — непротиворечивая теория первого порядка в не более чем счётном языке имеет счётную модель.
Теорема Лёвенгейма — Скулема, сильный вариант
- счётная версия — каждая бесконечная модель теории первого порядка в не более чем счётном языке имеет счётную элементарную подмодель.
- несчётная версия — каждая бесконечная модель теории первого порядка в языке $\text{[math]}$ имеет элементарную подмодель мощности меньшей или равной $\text{[math]}$ .
Теорема Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности — каждая нормальная бесконечная модель мощности $\text{[math]}$ имеет нормальное элементарное расширение любой мощности, больше $\text{[math]}$ .

Леммой Гейне — Бореля называется следующий факт, играющий фундаментальную роль в анализе:

Из всякой бесконечной системы интервалов, покрывающей отрезок числовой прямой, можно выбрать конечную подсистему, также покрывающую этот отрезок.

Изопериметри́ческое нера́венство — геометрическое неравенство, связывающее периметр замкнутой кривой на плоскости и площадь участка плоскости, ограниченной этой кривой. Этот термин также используется для различных обобщений данного неравенства.

Теорема Крылова — Боголюбова — утверждает существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Существуют две вариации теоремы, для динамических систем и для марковских процессов

В теории динамических систем, перемешивание — свойство системы «забывать» информацию о начальном условии с течением времени. Более точно, различают топологическое и метрическое перемешивание. Первое относится к теории непрерывных систем и, грубо говоря, утверждает, что сколь бы точно ни было известно начальное положение точки, с течением времени возможное её местонахождение становится всё более и более плотным множеством. Второе относится к теории измеримых систем — систем, сохраняющих некоторую меру $\text{[math]}$ — и утверждает, что распределение абсолютно непрерывной относительно $\text{[math]}$ меры при итерациях стремится к самой мере $\text{[math]}$ .

Сглаживающий сплайн это метод сглаживания с использованием сплайн-функций.

Ёмкость Минковского — одно из обобщений длины кривой и площади поверхности на произвольные измеримые множества в геометрической теории меры,

Лемма Витали о покрытиях — комбинаторногеометрический результат. Широко используется в теории меры.

Локальное поле — определённый тип полей с топологией, часто возникающих как пополнения полей.

Концентрация меры — принцип, согласно которому при определённых достаточно общих и не слишком обременительных ограничениях значение функции большого числа переменных почти постоянно. Например, большинство пар точек на единичной сфере большой размерности находятся на расстоянии, близком к $\text{[math]}$ друг от друга.

Свойство удвоения — условие, накладываемое на меры, определённые на метрических пространствах, а также на сами метрические пространства.

Метрика Леви — Прохорова — метрика на пространстве конечных вероятностных мер; введена в 1956 году Юрием Прохоровым в качестве обобщения метрики Леви.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.