Лемма Гронуолла — Беллмана

В математике лемма Гронуолла, также называемая леммой Гронуолла-Беллмана, позволяет ограничить функцию, удовлетворяющую определенному дифференциальному или интегральному неравенству решением соответствующего дифференциального или интегрального уравнения^[1]^[2]. Имеется две формулировки леммы — в дифференциальной и в интегральной формах. Лемма Гронуолла является важным инструментом при получении различных оценок в теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. В частности, она используется при доказательстве единственности решения задачи Коши.

Формулировка

Пусть

$u(t)\geq 0\$
$f(t)\geq 0\$
$u(t),f(t)\in C[t_{0},\infty ),$

при этом для $t\geq t_{0}$ выполняется неравенство:

u(t)\leq c+\int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1},\qquad (1)

где $c$ — положительная константа.

Тогда при $t\geq t_{0}$ имеем оценку:

u(t)\leq \,c\cdot \exp \int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,dt_{1}.\qquad (2)

Доказательство

Из неравенства (1) получим:

{\frac {u(t)}{c\ +\ \int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1}}}\,\leq 1

{\frac {f(t)u(t)}{c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1}}}\,\leq \,f(t),\qquad (3)

А так как

{\frac {d}{dt}}{\bigg [}c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1}{\bigg ]}=f(t)u(t),

то, проинтегрировав неравенство (3) в пределах от $t_{0}$ до $t$ , получим:

\ln {\bigg [}c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1}{\bigg ]}\,-\,\ln c\,\leq \,\int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,dt_{1}.

Отсюда, используя неравенство (1), получаем:

u(t)\,\leq \,c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,u(t_{1})\,dt_{1}\,\leq \,c\,\exp \int _{t_{0}}^{t}\,f(t_{1})\,dt_{1},

что и требовалось доказать.

Усиленная лемма Гронуолла

Пусть функция $u(x)$ неотрицательна и непрерывна в промежутке $\left[x_{0},x_{0}+h\right]$ и удовлетворяет там неравенству^[3]: $0\leqslant u(x)\leqslant A+B\int _{x_{0}}^{x}u(t)dt+\varepsilon (x-x_{0}),A\geqslant 0,B\geqslant 0,\varepsilon \geqslant 0$ . Тогда при $x\in \left[x_{0},x_{0}+h\right]$ справедливо неравенство: $u(x)\leqslant Ae^{B(x-x_{0})}+{\frac {\varepsilon }{B}}(e^{B(x-x_{0})}-1)$ .

Примечания

↑ Беллман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, ИЛ, 1954
↑ Bihari J., A genralizatial of differential equations, Acta math. Acad. Scient. Hung. VII, 1 (1956), 81-94
↑ Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. - М., Наука, 1981. - c. 26-27

Ссылки

PlanetMath
Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.

Похожие исследовательские статьи

Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Краевая задача — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев с помощью простых средств решать сложные математические задачи.

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.

$\text{[math]}$ -функция Ламберта определяется как обратная функция к $\text{[math]}$ , для комплексных $\text{[math]}$ . Обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . Для любого комплексного $\text{[math]}$ она определяется функциональным уравнением:

\text{[math]}

Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.

Формула Ньютона — Лейбница, или основная формула анализа, или формула Барроу даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

<span class="mw-page-title-main">Карацуба, Анатолий Алексеевич</span> советский и российский математик

Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба — советский и российский математик. Создатель первого быстрого метода в истории математики — метода умножения больших чисел.

Признак Ермакова — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым. Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей «чувствительностью». Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория сходимости рядов», «Новый признак сходимости и расходимости бесконечных знакопеременных рядов».

В функциональном анализе тест Шура применяется для интегральных операторов с ядром, действующим $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Функция распределения простых чисел</span>

В математике функция распределения простых чисел, или пи-функция $\text{[math]}$ , — это функция, равная числу простых чисел, меньших либо равных действительному числу x. Она обозначается $\text{[math]}$ .

Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных переменных величин, причем одни из них являются функциями других.

Экспонента матрицы — матричная функция от квадратной матрицы, аналогичная обычной экспоненциальной функции. Матричная экспонента устанавливает связь между алгеброй Ли матриц и соответствующий группой Ли.

Теорема Левинсона — даёт условие гарантирующее что две системы асимптотически эквивалентны.

Оценка Чернова даёт экспоненциально убывающие оценки вероятности больших отклонений сумм независимых случайных величин. Эти оценки являются более точными, чем оценки, полученные с использованием первых или вторых моментов, такие как неравенство Маркова или неравенство Чебышёва, которые дают лишь степенной закон убывания. Вместе с тем оценка Чернова требует, чтобы случайные величины были независимы в совокупности — условие, которое ни неравенство Маркова, ни неравенство Чебышёва не требуют, хотя неравенство Чебышёва требует попарную независимость случайных величин.

В теории вероятностей неравенства концентрации меры дают оценки отклонения случайной величины от некоторого значения. Закон больших чисел классической теории вероятностей утверждает, что суммы независимых случайных величин, при соблюдении довольно слабых условий, с большой вероятностью оказываются близкими к их математическим ожиданиям. Такие суммы являются основными примерами случайных величин, которые сконцентрированы около своих средних значений.

<span class="mw-page-title-main">Интеграл Дирихле</span>

В математике существует несколько интегралов, известных как интеграл Дирихле, названные в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле, один из которых является несобственным интегралом функции sinc по положительной действительной прямой:

\text{[math]}

Метод функции Грина — метод решения линейного дифференциального уравнения, позволяет посредством нахождения соответствующей оператору этого уравнения функции Грина практически напрямую получить частное решение. Эффективность определяется возможностью записать функцию Грина в явном виде.

Тождество Похожаева — это интегральное соотношение, которому удовлетворяют стационарные локализованные решения нелинейного уравнения Шредингера или нелинейного уравнения Клейна-Гордона. Оно было получено С.И. Похожаевым и аналогично теореме о вириале. Это соотношение также известно как теорема Д.Г. Деррика. Аналогичные тождества могут быть получены и для других уравнений математической физики.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.