Лемма Картана (линейная алгебра)

Лемма Картана — утверждение о внешней алгебре, доказано Эли Картаном в 1899. ^[1]

Формулировка

Пусть $v_{1},\dots ,v_{p}$ — линейно независимые вектора в пространстве $V$ и $w_{1},\dots ,w_{p}\in V$ таковы, что

v_{1}\wedge w_{1}+\cdots +v_{p}\wedge w_{p}=0

Тогда,

w_{i}=\sum _{j}h_{ij}\cdot v_{j}.

для некоторых коэффициентов $h_{ij}=h_{ji}$ .

В частности, $w_{1},\dots ,w_{p}$ лежат в линейной оболочке $v_{1},\dots ,v_{p}$ .

Примечания

↑ E. Cartan, "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff" Ann. Ec. Norm. (3) , 16 (1899) pp. 239–332

Похожие исследовательские статьи

Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры, изучающий математические объекты линейной природы: векторные пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений. Среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

Те́нзор — применяемый в математике и физике математический объект линейной алгебры, заданный на векторном пространстве конечной размерности. В физике в качестве векторного пространства обычно выступает физическое трёхмерное пространство или четырёхмерное пространство-время, а компонентами тензора являются координаты (проекции) взаимосвязанных физических величин. Использование тензоров в физике позволяет глубже понять физические законы и уравнения, упростить их запись за счёт сведения многих связанных физических величин в один тензор, а также записывать уравнения в форме, не зависящей от выбранной системы отсчёта.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Определи́тель (детермина́нт) в линейной алгебре — скалярная величина, которая характеризует ориентированное «растяжение» или «сжатие» многомерного евклидова пространства после преобразования матрицей; имеет смысл только для квадратных матриц. Стандартные обозначения определителя матрицы $\text{[math]}$ — $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Внешняя алгебра, или алгебра Грассмана, — ассоциативная алгебра, используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах. Впервые введена Грассманом в 1844 году.

Свёртка в тензорном исчислении — операция понижения валентности тензора на 2, переводящая тензор валентности $\text{[math]}$ в тензор валентности $\text{[math]}$ .

Си́мплекс или n-ме́рный тетра́эдр — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.

Дифференциа́льная фо́рма порядка $\text{[math]}$ , или $\text{[math]}$ -форма, — кососимметрическое тензорное поле типа $\text{[math]}$ на многообразии.

Метри́ческий те́нзор, или ме́трика, — симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаётся скалярное произведение векторов в касательном пространстве. Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к этой точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки.

Пусть $\text{[math]}$ есть векторное пространство над полем $\text{[math]}$ .

LU-разложение — представление матрицы $\text{[math]}$ в виде произведения двух матриц, $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — нижняя треугольная матрица, а $\text{[math]}$ — верхняя треугольная матрица.

<span class="mw-page-title-main">Whirlpool (хеш-функция)</span>

Whirlpool — криптографическая хеш-функция, разработанная Винсентом Рэйменом и Пауло Баррето. Опубликована в ноябре 2000 года. Хеширует входное сообщение с длиной до $\text{[math]}$ битов. Выходное значение хеш-функции Whirlpool, называемое хешем, составляет 512 битов.

Гиперповерхность является обобщением понятия поверхности 3-мерного пространства для n-мерного пространства; это многообразие размерности n, которое вложено в евклидово пространство на единицу большей размерности $\text{[math]}$ .

Симплекти́ческое пространство — это векторное пространство S с заданной на нём симплектической формой $\text{[math]}$ , то есть билинейной кососимметрической невырожденной 2-формой:

\text{[math]}

\text{[math]}

\text{[math]}

Грассмановым многообра́зием или грассманиа́ном линейного пространства $\text{[math]}$ размерности $\text{[math]}$ называется многообразие, состоящее из его $\text{[math]}$ -мерных подпространств. Обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . В частности, $\text{[math]}$ — это многообразие прямых в пространстве $\text{[math]}$ , совпадающее с проективным пространством $\text{[math]}$ . Названо в честь Германа Грассмана.

Распределением на многообразии $\text{[math]}$ называется подрасслоение касательного расслоения многообразия. Другими словами, в каждой точке $\text{[math]}$ выбрано линейное подпространство $\text{[math]}$ касательного пространства $\text{[math]}$ которое гладко зависит от точки $\text{[math]}$ .

Инвариа́нт гра́фа в теории графов — некоторое обычно числовое значение или упорядоченный набор значений (хеш-функция), характеризующее структуру графа $\text{[math]}$ и не зависящее от способа обозначения вершин или графического изображения графа. Играет важную роль при проверке изоморфизма графов, а также в задачах компьютерной химии.

Бикватернионы — комплексификация (расширение) обычных (вещественных) кватернионов.

Дистанционно-регулярный граф — такой регулярный граф, у которого для двух любых вершин $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , расположенных на одинаковом расстоянии $\text{[math]}$ друг от друга, справедливо, что количество вершин, инцидентных к $\text{[math]}$ и при этом находящихся на расстоянии $\text{[math]}$ от вершины $\text{[math]}$ , зависит только от расстояния $\text{[math]}$ между вершинами $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ ; более того, количество вершин, инцидентных к $\text{[math]}$ и находящихся на расстоянии $\text{[math]}$ от вершины $\text{[math]}$ , также зависит только от расстояния $\text{[math]}$ .

Нормальная форма Хауэлла — аналог ступенчатого вида матрицы для матриц над кольцом $\text{[math]}$ остатков по модулю $\text{[math]}$ .

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.