Линейные операции над векторами — операции сложения векторов, вычитания векторов и умножения вектора на скаляр. Эти операции называются линейными потому, что если над векторами , , и выполнить конечное количество произвольных действий сложения, вычитания и умножения на скаляр, то в результате получится новый вектор — линейная комбинация исходных векторов
Треугольник сложения произвольных векторов: сумма векторов c = a + b
Сложе́ние векторо́в, или геометри́ческое сложе́ние векторо́в[7] (англ.addition of vectors) — операция, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — сумму векторов[8]. При этом сумма двух векторов и — это третий вектор , проведённый из начала одного вектора к концу второго, причём конец первого вектора совпадает с началом второго (правило треугольника). Сумма векторов геометрически строится с помощью правил — алгоритмов построения вектора суммы по векторам-слагаемым (см. рисунок с треугольником сложения векторов справа)[9][4][10][7][11].
Три вектора , и всегда компланарны, то есть параллельны одной плоскости[12].
Векторы, которые складываются, называются слагаемыми векторами, а результат сложения — геометрической суммой, или результирующим вектором[13].
Результат сложения векторов не зависит от расположения первого слагаемого, при его изменении треугольник сложения будет параллельно перенесён[10].
Существуют два действия, обратных сложению векторов[14]:
Операция сложения в математике в векторной алгебре векторов как геометрическое построение по правилу многоугольника возникла как обобщение операции вычисления равнодействующей силы в механике. Правомерность названия «сложение» заключается также и в том, что операция сложения векторов подчиняется тем же двум законам, что и арифметическая операция сложения чисел, а именно[15]:
Эти законы и аналогичные законы для сложения чисел записываются одинаково. Что не только важно, но и удобно, поскольку позволяет работать с векторными равенствами, не переучиваясь, так же, как с числовыми равенствами. Эта аналогия распространяется и на вычитание векторов, а также действия с равенствами векторов[16].
Треугольник вычитания произвольных векторов: разность векторов c = a - b
Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычита́ние векторо́в (англ.subtraction of vectors) — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое[17][18][19][20][21]. При этом разность двух векторов и — это третий вектор такой, что (см. рисунок справа с треугольником вычитания векторов)[22][23][24][25][26][21]. Первый вектор разности называется уменьшаемым, а второй — вычитаемым[27][19][20][21].
Умножение вектора на положительные (синие) и отрицательные (красные) числа
Умноже́ние ве́ктора на число́ (англ.scalar multiplication of a vector) – операция, ставящая в соответствие вектору и числу другой коллинеарный вектор — произведение вектора на это число[28]. При этом произведение вектора и числа в случае ненулевых вектора и числа — новый вектор, у которого[29][24][25]:
модуль равен произведению модуля исходного вектора на абсолютную величину числа;
направление, совпадающее с направлением исходного вектора, если число положительно, и противоположное, если число отрицательно (см. рисунок справа).
Обозначение произведения вектора и скаляра следующее[29][24][25]:
Геометрическое вычитание векторов — операция, обратная геометрическому сложению векторов. Кроме неё, обратной операцией к сложению векторов является геометрическое разложение вектора, или просто разложение вектора — операция представления данного вектора в виде замыкающей нескольких векторов. Геометрически строится ломаная линия, которую замыкает данный вектор. Но так эту операцию определить нельзя, и чтобы её определить, нужно наложить на геометрические слагаемые определённые условия[14].
Применение линейных операций
Применение линейных операций — использование линейных операций над векторами:
для решения математических и физических задач. Рассмотрим несколько примеров решения задач разной степени трудности с применением векторов. Использование векторов делает предложенные задачи[30]:
вычислительными, то есть сводит чисто геометрические рассуждения (с треугольниками, трапециями, средними линиями. медианами и так далее) к вычислениям с векторами, обычно достаточно простыми;
решаемыми при желании без помощи чертежей, которые обычно представляют только один частный случай задачи, что вызывает сомнение в их универсальности;
1. Необходимость. Пусть три точки , и лежат на одной прямой (см. рисунок справа вверху). Тогда векторы и коллинеарны, то есть
,
следовательно,
,
но разложение вектора по векторам и единственно при их неколлинеарности, поэтому окончательно получаем[31]:
, .
2. Достаточность. Обратно, пусть , тогда
,
поэтому векторы и коллинеарны и отложены от одной и той же точки , следовательно, три точки , и лежат на одной прямой[32].
Замечание. Уравнение с ограничением — относительно полюса векторное уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки и , , , . При этом значения коэффициентов и вычисляются как частные векторов[33]:
Задача 1'.Найти такой радиус-вектор , который делит отрезок в данном отношении [33][34][35].[36]
Решение. Используя полученные результаты, имеем, учитывая, что в данном случае коэффициенты [33]:
1. Необходимость. Пусть четыре точки , , и лежат в одной плоскости. Тогда векторы , и компланарны, то есть
,
следовательно,
,
но разложение вектора по векторам , и единственно при их некомпланарности, поэтому окончательно получаем[38]:
, .
2. Достаточность. Обратно, пусть , тогда
,
поэтому векторы , и компланарны и отложены от одной и той же точки , следовательно, четыре точки , , и лежат в одной плоскости[39].
Замечание. Уравнение с ограничением — относительно полюса векторное уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки , и , , , , [39].
Построение треугольника
Треугольник из векторов
Здесь приведены две задачи на построение треугольника.
Задача 3.Найти условие, которому отвечают три вектора, образующие треугольник (см. рисунок справа)[40].
Решение. Рисунок справа показывает, что искомое условие для трёх векторов следующее:
,
потому что тогда и только тогда ломаная линия будет замкнута и получится треугольник[40].
Треугольник из векторов и медиана
Задача 4.Доказать, что всегда можно построить треугольник с тремя сторонами, равными и параллельными трём медианам данного треугольника (см. рисунок справа)[40][41].
Решение 1. Пусть , и — середины сторон треугольника соответственно , и . Разложим векторы , и , которые представляют медианы треугольника, по векторам , и . Разложим медиану :
,
,
аналогично
,
,
и проверяем условие того, что векторы , и составляют треугольник — условие задачи 3[42]:
,
.
Решение 2. Разложим векторы , и по векторам , и по-другому, как в задачи 1':
Здесь представлены по сути две одинаковые задачи, но по-разному сформулированные и по-разному решённые.
Равенство векторов и
Задача 5.Два вектора и (на прямой, плоскости или в пространстве) равны тогда и только тогда. когда совпадают середины отрезков и [43].
Решение.1. Необходимость. Докажем, что если два вектора равны: , а точка — середина отрезка , то есть , то тогда — также середина отрезка . Действительно,
Решение. Пусть , , и — радиус-векторы четырёх последовательных вершин четырёхугольника (см. рисунок справа). Тогда, по задаче 1',
—
радиус-вектор середины одной диагонали, а
—
радиус-вектор середины другой диагонали. Поскольку диагонали делят друг друга пополам, то их середины совпадают:
,
,
другими словами, вектор равен и параллелен вектору . Поскольку эти векторы представляют противоположные стороны четырёхугольника , то — параллелограмм[46].
Пересечение трёх прямых в одной точке
Задача 7.Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и найти радиус-вектор этой точки[39].
Пусть вершины произвольного треугольника , и имеют радиус-векторы соответственно , и . Обозначим через , и середины сторон соответственно , и (см. рисунок справа). Тогда, по задаче 1', радиус-вектор
следовательно, по задаче 1, уравнение прямой, проходящей через две точки и , то есть уравнение медианы ,
где — произвольный радиус-вектор. Аналогично уравнение медианы следующее[39]:
Приравняем оба выражения и получим уравнение точки пересечения медиан и [39]:
При определении точки пересечения медиан и будет получен тот же результат по причине симметрии полученного выражения, поэтому третья медиана проходит через ту же точку[48].
Задача 8.Доказать, что биссектрисы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и найти радиус-вектор этой точки[49].
Либо таким же способом, то есть аналогично, либо заменой символов на , на , на , на , то есть циклической перестановкой, получается уравнение для вектора [48]:
Аналогично, если — точка пересечения биссектрис и , то тогда
следовательно, , то есть точки и совпадают и биссектрисы пересекаются в одной точке[50].
Пусть теперь , и — радиус-векторы вершин соответственно , и треугольника , тогда радиус-вектор точки пересечения биссектрис следующий[50]:
Задача 9.В треугольнике точки , и лежат произвольно на сторонах , и соответственно. Найти соотношение между шестью отрезками , , , , и , при которых прямые , и пересекаются в одной точке [51].
Треугольник и три прямые, пересекающиеся в одной точке
1. Необходимость. Поместим точку вне плоскости треугольника , и пусть , и — радиус-векторы соответствующих вершин треугольника, а — радиус-вектор точки пересечения трёх прямых , и (см. рисунок справа). Разложим вектор по трём некомпланарным векторам , и [52]:
Перемножим последние три равенства, окончательно найдём требующееся соотношение между шестью отрезками[53]:
,
или
.
2. Достаточность. Последнее выражение является также и достаточным условием того, что прямые , и пересекаются в одной точке. Действительно, пусть прямые и пересекаются в точке , и пусть тогда прямая пересекает сторону треугольника в некоторой точке , для которой по только что доказанному выполняется следующее условие[53]:
Задача 10.Доказать, что описанное ниже рекуррентное построение доставляет любую целую часть, то есть половину, треть, четверть и так далее, заданного отрезка (см. рисунок справа)[50]:
параллельно заданному отрезку проведём прямую . Затем через точку , расположенную с одной стороны этих отрезков, проведём прямые и , пересекающие прямую в точка и соответственно;
диагонали трапеции пересекаются в точке . Прямая пересекает отрезок в точке . Получаем, что
прямая пересекает диагональ в точке . Прямая пересекает отрезок в точке . Получаем, что . И так далее.
3. Окончательно решим поставленную задачу, используя метод математической индукции. Для задача уже решена. Осталось показать, что от точки можно перейти к точке при . Предположим, что имеет место база индукции
по точке , для которой выполняются следующие условия, полученные приравниванием коэффициентов при одинаковых векторах в этих двух уравнениях прямых[51]:
следовательно,
Прямая
.
пересекается с прямой по точке тогда и только тогда, когда, по задаче 1, сумма коэффициентов при радиус-векторах и равна единице:
лежит на линии, соединяющей эти две материальные точки;
делит эту линию в отношении, обратно пропорциональном массам материальных точек.
Исходя из этого, найти центр масс системы трёх материальных точек[56].
Решение. Пусть массы , и сосредоточены в материальных точках соответственно , и с радиус-векторами соответственно , и . Тогда, по задаче 1', радиус-вектор центра масс системы двух материальных точек и
,
отсюда по той же формуле находим радиус-вектор центра масс системы трёх материальных точек , и как центр масс двух точек: центра масс системы точек и и точки [56]:
Тетраэдр и середины рёбер
Задача 12.Пусть дан тетраэдр (см. рисунок справа). Доказать, что[57]:
три отрезка, которые соединяют середины противоположных рёбер тетраэдра (на рисунке зелёные), пересекаются в общей точке, которая их делит пополам;
в этой же точке пересекаются четыре отрезка (на рисунке один из них — красный), которые соединяют вершины тетраэдра с центрами масс противоположных граней, причём эта точка делит эти четыре отрезки, считая от вершины, в отношении .
Пусть даны тетраэдр и произвольная фиксированная точка пространства . Введём следующие радиус-векторы[57].
1. Обозначим через и середина рёбер соответственно и , а через — середину нового отрезка . Получим по задаче 1'[59]:
Полученное выражение для симметрично относительно радиус-векторов , , , , поэтому, из соображений симметрии, заключаем, что точка будет также серединой двух отрезков, соединяющих середины остальных пар противоположных рёбер тетраэдра[59].
2. Обозначим через точку пересечения медиан грани . Тогда радиус-вектор этой точки будет, по задаче 7, следующим[59]:
Пусть теперь — такая точка вектора , которая делит его в отношении . Тогда, по задаче 1',
Решение. Обозначим вершины трапеции последовательно через , , и , середины оснований и — через и соответственно, а точку пересечения прямых и — через (см. рисунок справа)[60].
Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабжённых решениями, составленного А. С, Пархоменко. 2-е изд. М.: Наука, 1968. 912 с., ил.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы : учебник для общеобразовательных организаций. 2-е изд. М.: Просвещение, 2014. 383 с., ил.
Линейные операции над векторами // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 186.
Разность векторов // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 369.
Сложение векторов // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 412.
Умножение вектора на число // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 462.
Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. На языке КТП основываются физика высоких энергий и физика элементарных частиц, её математический аппарат используется в физике конденсированного состояния. КТП в виде Стандартной модели в настоящее время является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описывать и предсказывать результаты экспериментов при достижимых в современных ускорителях высоких энергиях.
Уравне́ния Ма́ксвелла — система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца, задающим меру воздействия электромагнитного поля на заряженные частицы, эти уравнения образуют полную систему уравнений классической электродинамики, называемую иногда уравнениями Максвелла — Лоренца. Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму.
СГС (сантиметр-грамм-секунда) — система единиц измерения, в которой основными единицами являются единица длины сантиметр, единица массы грамм и единица времени секунда. Она широко использовалась до принятия Международной системы единиц (СИ). Другое название — абсолютная физическая система единиц, хотя в настоящее время термин «абсолютная» в качестве характеристики систем единиц не употребляется и считается устаревшим.
Пло́скость — одно из фундаментальных понятий в геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически.
Те́нзор эне́ргии-и́мпульса (ТЭИ) — симметричный тензор второго ранга (валентности), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем.
В классической механике, задача двух тел состоит в том, чтобы определить движение двух материальных точек, которые взаимодействуют только друг с другом. Распространённые примеры включают спутник, обращающийся вокруг планеты, планета, обращающаяся вокруг звезды, две звезды, обращающиеся вокруг друг друга, и классический электрон, движущийся вокруг атомного ядра.
Псевдоскалярным или косым произведением векторов и на плоскости называется число
Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.
Закон Био́—Савара—Лапла́са — физический закон для определения вектора индукции магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током. Был установлен экспериментально в 1820 году Био и Саваром и сформулирован в общем виде Лапласом. Лаплас показал также, что с помощью этого закона можно вычислить магнитное поле движущегося точечного заряда.
Потенциа́лы Лиена́ра — Ви́херта представляют собой простое лоренц-инвариантное выражение для потенциалов поля, создаваемого точечным электрическим зарядом, движущимся по заданной траектории. Они являются точным решением уравнений Максвелла в пустоте для случая одной частицы, записанным в калибровке Лоренца.
Аффинно-квадратичной функцией на аффинном пространстве называется всякая функция , имеющая в векторизованной форме вид , где — симметричная матрица, — линейная функция, — константа.
Спонта́нное наруше́ние симме́три́и — способ нарушения симметрии физической системы, при котором исходное состояние и уравнения движения системы инвариантны относительно некоторых преобразований симметрии, но в процессе эволюции система переходит в состояние, для которого инвариантность относительно некоторых преобразований начальной симметрии нарушается. Спонтанное нарушение симметрии всегда связано с вырождением состояния с минимальной энергией, называемого вакуумом. Множество всех вакуумов имеет начальную симметрию, однако каждый вакуум в отдельности — нет. Например, шарик в жёлобе с двумя ямами скатывается из неустойчивого симметричного состояния в устойчивое состояние с минимальной энергией либо влево, либо вправо, разрушая при этом симметрию относительно изменения левого на правое.
Спектральное разложение матрицы или разложение матрицы на основе собственных векторов — это представление квадратной матрицы в виде произведения трёх матриц , где — матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы , — диагональная матрица с соответствующими собственными значениями на главной диагонали, — матрица, обратная матрице .
Криптография на решётках — подход к построению алгоритмов асимметричного шифрования с использованием задач теории решёток, то есть задач оптимизации на дискретных аддитивных подгруппах, заданных на множестве .
Байесовская линейная регрессия — это подход в линейной регрессии, в котором статистический анализ проводится в контексте байесовского вывода: когда регрессионная модель имеет ошибки, имеющие нормальное распределение, и, если принимается определённая форма априорного распределения, доступны явные результаты для апостериорных распределений вероятностей параметров модели.
Алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса — алгоритм редукции базиса решётки, разработанный Арьеном Ленстрой, Хендриком Ленстрой и Ласло Ловасом в 1982 году. За полиномиальное время алгоритм преобразует базис на решётке в кратчайший почти ортогональный базис на этой же решётке. По состоянию на 2019 год алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса является одним из самых эффективных для вычисления редуцированного базиса в решётках больших размерностей. Он актуален прежде всего в задачах, сводящихся к поиску кратчайшего вектора решётки.
Симметрии в квантовой механике — преобразования пространства-времени и частиц, которые оставляют неизменными уравнения квантовой механики. Рассматриваются во многих разделах квантовой механики, которые включают релятивистскую квантовую механику, квантовую теорию поля, стандартную модель и физику конденсированного состояния. В целом, симметрия в физике, законы инвариантности и сохранения являются основополагающими ограничениями для формулирования физических теорий и моделей. На практике это мощные методы решения задач и прогнозирования того, что может случиться. Хотя законы сохранения не всегда дают конечное решение проблемы, но они формируют правильные ограничения и наметки к решению множества задач.
Уравнение электромагнитной волны — дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распространение электромагнитных волн через среду или в вакуумe. Это трёхмерная форма волнового уравнения. Однородная форма уравнения, записанная в терминах либо электрического поля E, либо магнитного поля B, имеет вид:
Умноже́ние ве́ктора на число́, или умноже́ние ве́ктора на скаля́р – операция, ставящая в соответствие вектору и числу — скаляру — другой коллинеарный вектор — произведение вектора на это число. При этом произведение вектора и числа в случае ненулевых вектора и числа — новый вектор, у которого:
модуль равен произведению модуля исходного вектора на абсолютную величину числа;
направление, совпадающее с направлением исходного вектора, если число положительно, и противоположное, если число отрицательно.
Произведе́ние векторо́в, или перемноже́ние векторо́в — операция, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — произведение векторов. Эта операция должна обладать двумя свойствами:
подчиняться законам, аналогичным законам операции умножения чисел;
обобщать геометрические и физические операции.
Эта страница основана на статье Википедии. Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия. Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.