Линейная операция

Лине́йная опера́ция над векторами — операция сложения векторов либо операция умножения вектора на число^{[1][2][3][4][5]}. Иногда к этим двум операциям добавляют операцию вычитания векторов^[6].

Линейные операции над векторами — операции сложения векторов, вычитания векторов и умножения вектора на скаляр. Эти операции называются линейными потому, что если над векторами ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$, ${\displaystyle \mathbf {c} }$ и ${\displaystyle \mathbf {d} }$ выполнить конечное количество произвольных действий сложения, вычитания и умножения на скаляр, то в результате получится новый вектор — линейная комбинация исходных векторов

${\displaystyle \alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} +\gamma \mathbf {c} +\delta \mathbf {d} }$,

где ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ – скаляры (действительные числа)^[6].

Сложе́ние векторо́в, или геометри́ческое сложе́ние векторо́в^[7] (англ. addition of vectors) — операция, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — сумму векторов^[8]. При этом сумма ${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} }$ двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} }$, проведённый из начала одного вектора к концу второго, причём конец первого вектора совпадает с началом второго (правило треугольника). Сумма векторов геометрически строится с помощью правил — алгоритмов построения вектора суммы по векторам-слагаемым (см. рисунок с треугольником сложения векторов справа)^{[9][4][10][7][11]}.

Три вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} }$ всегда компланарны, то есть параллельны одной плоскости^[12].

Векторы, которые складываются, называются слагаемыми векторами, а результат сложения — геометрической суммой, или результирующим вектором^[13].

Результат сложения векторов не зависит от расположения первого слагаемого, при его изменении треугольник сложения будет параллельно перенесён^[10].

Существуют два действия, обратных сложению векторов^[14]:

• геометрическое вычитание векторов;
• геометрическое разложение вектора.

Операция сложения в математике в векторной алгебре векторов как геометрическое построение по правилу многоугольника возникла как обобщение операции вычисления равнодействующей силы в механике. Правомерность названия «сложение» заключается также и в том, что операция сложения векторов подчиняется тем же двум законам, что и арифметическая операция сложения чисел, а именно^[15]:

• сочетательный закон (ассоциативность);
• переместительный закон (коммутативность).

Эти законы и аналогичные законы для сложения чисел записываются одинаково. Что не только важно, но и удобно, поскольку позволяет работать с векторными равенствами, не переучиваясь, так же, как с числовыми равенствами. Эта аналогия распространяется и на вычитание векторов, а также действия с равенствами векторов^[16].

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычита́ние векторо́в (англ. subtraction of vectors) — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое^{[17][18][19][20][21]}. При этом разность ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b} }$ такой, что ${\displaystyle \mathbf {c} +\mathbf {b} =\mathbf {a} }$ (см. рисунок справа с треугольником вычитания векторов)^{[22][23][24][25][26][21]}. Первый вектор разности называется уменьшаемым, а второй — вычитаемым^{[27][19][20][21]}.

Умноже́ние ве́ктора на число́ (англ. scalar multiplication of a vector) – операция, ставящая в соответствие вектору и числу другой коллинеарный вектор — произведение вектора на это число^[28]. При этом произведение вектора и числа в случае ненулевых вектора и числа — новый вектор, у которого^[29][24][25]:

• модуль равен произведению модуля исходного вектора на абсолютную величину числа;
• направление, совпадающее с направлением исходного вектора, если число положительно, и противоположное, если число отрицательно (см. рисунок справа).

Обозначение произведения вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и скаляра ${\displaystyle \lambda }$ следующее^[29][24][25]:

${\displaystyle \mathbf {a} \lambda }$ или ${\displaystyle \lambda \mathbf {a} .}$

В итоге получаем^[29]:

${\displaystyle |\lambda \mathbf {a} |=|\mathbf {a} \lambda |=|\lambda ||\mathbf {a} |.}$

Произведение вектора и числа равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю^[29][24][25]:

${\displaystyle \lambda \mathbf {0} =0\mathbf {a} =\mathbf {0} .}$

Существуют два действия, обратных умножению вектора на число:

• деление вектора на число;
• деление вектора на вектор.

Три закона умножения вектора на скаляр те же самые, что и законы умножения чисел^[29]:

• переместительности (коммутативность):

${\displaystyle \lambda \mathbf {a} =\mathbf {a} \lambda }$;

• сочетательности (ассоциативность):

${\displaystyle \lambda (\mu \mathbf {a} )=(\lambda \mu )\mathbf {a} }$;

• распределительности (дистрибутивность):

${\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\lambda =\mathbf {a} \lambda +\mathbf {b} \lambda }$;

${\displaystyle (\lambda +\mu )\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} }$.

Геометрическое вычитание векторов — операция, обратная геометрическому сложению векторов. Кроме неё, обратной операцией к сложению векторов является геометрическое разложение вектора, или просто разложение вектора — операция представления данного вектора в виде замыкающей нескольких векторов. Геометрически строится ломаная линия, которую замыкает данный вектор. Но так эту операцию определить нельзя, и чтобы её определить, нужно наложить на геометрические слагаемые определённые условия^[14].

Применение линейных операций — использование линейных операций над векторами:

• сложение векторов;
• вычитание векторов;
• умножение вектора на число, —

для решения математических и физических задач. Рассмотрим несколько примеров решения задач разной степени трудности с применением векторов. Использование векторов делает предложенные задачи^[30]:

• вычислительными, то есть сводит чисто геометрические рассуждения (с треугольниками, трапециями, средними линиями. медианами и так далее) к вычислениям с векторами, обычно достаточно простыми;
• решаемыми при желании без помощи чертежей, которые обычно представляют только один частный случай задачи, что вызывает сомнение в их универсальности;
• параллельное доказательство похожих (и, возможно, различно сформулированных) планиметрических и стереометрических закономерностей.

Задача 1. Три точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$, где

${\displaystyle {\overrightarrow {OA}}=\mathbf {a} }$, ${\displaystyle {\overrightarrow {OB}}=\mathbf {b} }$, ${\displaystyle {\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c} }$,

${\displaystyle \mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} }$,

тогда и только тогда коллинеарны, то есть лежат на одной прямой, когда (см. рисунок справа)

${\displaystyle \lambda +\mu =1}$.

Исключение: коллинеарность векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$, когда три точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ всегда лежат на одной прямой при любых числах ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$^[31].

Замечание. Уравнение ${\displaystyle \mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} }$ с ограничением ${\displaystyle \lambda +\mu =1}$ — относительно полюса ${\displaystyle O}$ векторное уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}}}$, ${\displaystyle \mathbf {b} ={\overrightarrow {OB}}}$, ${\displaystyle \mathbf {c} ={\overrightarrow {OC}}}$. При этом значения коэффициентов ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$ вычисляются как частные векторов^[33]:

${\displaystyle \lambda ={\frac {\overrightarrow {BC}}{\overrightarrow {BA}}};}$ ${\displaystyle \quad \mu ={\frac {\overrightarrow {AC}}{\overrightarrow {AB}}}.}$

Задача 1'. Найти такой радиус-вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c} }$, который делит отрезок ${\displaystyle AB}$ в данном отношении ${\displaystyle {\frac {x}{y}}=\nu }$^[33][34][35].^[36]

Решение. Используя полученные результаты, имеем, учитывая, что в данном случае коэффициенты ${\displaystyle \lambda ,\mu \geqslant 0}$^[33]:

${\displaystyle {\frac {AC}{CB}}={\frac {x}{y}}=\nu }$,

${\displaystyle {\frac {AC}{AB}}={\frac {AC}{AC+CB}}={\frac {x}{x+y}}=\mu }$,

${\displaystyle \lambda =1-\mu ={\frac {y}{x+y}}}$,

${\displaystyle \mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ={\frac {y\mathbf {a} +x\mathbf {b} }{x+y}}={\frac {\mathbf {a} +\nu \mathbf {b} }{1+\nu }}}$.

Можно провести вычисления короче^[34]:

${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}=\nu {\overrightarrow {CB}}}$,

${\displaystyle \mathbf {c} -\mathbf {a} =\nu (\mathbf {b} -\mathbf {c} )}$,

${\displaystyle \mathbf {c} ={\frac {\mathbf {a} +\nu \mathbf {b} }{1+\nu }}}$.

В частности, при ${\displaystyle {\frac {AC}{CB}}={\frac {x}{y}}=\nu =1}$ имеем:

${\displaystyle \mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ={\frac {\mathbf {a} +\mathbf {b} }{2}}}$,

другими словами, радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиусов-векторов его концов^[34][37].

Задача 2. Четыре точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$, где

${\displaystyle {\overrightarrow {OA}}=\mathbf {a} }$, ${\displaystyle {\overrightarrow {OB}}=\mathbf {b} }$, ${\displaystyle {\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c} }$, ${\displaystyle {\overrightarrow {OD}}=\mathbf {d} }$,

${\displaystyle \mathbf {d} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\mu \mathbf {c} }$,

тогда и только тогда компланарны, то есть лежат в одной плоскости, когда (см. рисунок справа)

${\displaystyle \lambda +\mu +\nu =1}$.

Исключение: компланарность векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$, когда четыре точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ всегда лежат в одной плоскости при любых числах ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \nu }$^[33].

Замечание. Уравнение ${\displaystyle \mathbf {d} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\mu \mathbf {c} }$ с ограничением ${\displaystyle \lambda +\mu +\nu =1}$ — относительно полюса ${\displaystyle O}$ векторное уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}}}$, ${\displaystyle \mathbf {b} ={\overrightarrow {OB}}}$, ${\displaystyle \mathbf {c} ={\overrightarrow {OC}}}$, ${\displaystyle \mathbf {d} ={\overrightarrow {OD}}}$^[39].

Здесь приведены две задачи на построение треугольника.

Задача 3. Найти условие, которому отвечают три вектора, образующие треугольник (см. рисунок справа)^[40].

Решение. Рисунок справа показывает, что искомое условие для трёх векторов следующее:

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} =0}$,

потому что тогда и только тогда ломаная линия ${\displaystyle BCAB}$ будет замкнута и получится треугольник^[40].

Задача 4. Доказать, что всегда можно построить треугольник с тремя сторонами, равными и параллельными трём медианам данного треугольника ${\displaystyle ABC}$ (см. рисунок справа)^[40][41].

Решение 1. Пусть ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$ — середины сторон треугольника соответственно ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$ и ${\displaystyle AB}$. Разложим векторы ${\displaystyle {\overrightarrow {AA'}}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {BB'}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {CC'}}}$, которые представляют медианы треугольника, по векторам ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$. Разложим медиану ${\displaystyle {\overrightarrow {AA'}}}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {BA'}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {BC}}={\frac {1}{2}}\mathbf {a} }$,

${\displaystyle {\overrightarrow {AA'}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BA'}}=\mathbf {c} +{\frac {1}{2}}\mathbf {a} }$,

аналогично

${\displaystyle {\overrightarrow {BB'}}=\mathbf {a} +{\frac {1}{2}}\mathbf {b} }$,

${\displaystyle {\overrightarrow {CC'}}=\mathbf {b} +{\frac {1}{2}}\mathbf {c} }$,

и проверяем условие того, что векторы ${\displaystyle {\overrightarrow {AA'}}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {BB'}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {CC'}}}$ составляют треугольник — условие задачи 3^[42]:

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} =0}$,

${\displaystyle {\overrightarrow {AA'}}+{\overrightarrow {BB'}}+{\overrightarrow {CC'}}=\mathbf {c} +{\frac {1}{2}}\mathbf {a} +\mathbf {a} +{\frac {1}{2}}\mathbf {b} +\mathbf {b} +{\frac {1}{2}}\mathbf {c} ={\frac {3}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} )=0}$.

Решение 2. Разложим векторы ${\displaystyle {\overrightarrow {AA'}}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {BB'}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {CC'}}}$ по векторам ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$ по-другому, как в задачи 1':

${\displaystyle {\overrightarrow {AA'}}={\frac {\mathbf {c} +(-\mathbf {b} )}{2}},\quad {\overrightarrow {BB'}}={\frac {\mathbf {a} +(-\mathbf {c} )}{2}},\quad {\overrightarrow {CC'}}={\frac {\mathbf {b} +(-\mathbf {a} )}{2}},}$

и после сложения этих трёх равенств получаем^[41]:

${\displaystyle {\overrightarrow {AA'}}+{\overrightarrow {BB'}}+{\overrightarrow {CC'}}={\frac {\mathbf {c} +(-\mathbf {b} )+\mathbf {a} +(-\mathbf {c} )+\mathbf {b} +(-\mathbf {a} )}{2}}=0}$.

Здесь представлены по сути две одинаковые задачи, но по-разному сформулированные и по-разному решённые.

Задача 5. Два вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}$ (на прямой, плоскости или в пространстве) равны тогда и только тогда. когда совпадают середины отрезков ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$^[43].

Решение. 1. Необходимость. Докажем, что если два вектора равны: ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}}$, а точка ${\displaystyle P}$ — середина отрезка ${\displaystyle AD}$, то есть ${\displaystyle {\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {PD}}}$, то тогда ${\displaystyle P}$ — также середина отрезка ${\displaystyle BC}$. Действительно,

${\displaystyle {\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {AP}}-{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {PD}}-{\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {PD}}+{\overrightarrow {DC}}={\overrightarrow {PC}}}$,

то есть ${\displaystyle P}$ — середина отрезка ${\displaystyle BC}$^[44].

2. Достаточность. Докажем, что если середины отрезков ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$ совпадают в точке ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {PD}},\quad {\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {PC}}}$,

то тогда векторы ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}$ равны. Действительно,

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {AP}}+{\overrightarrow {PB}}={\overrightarrow {PD}}+{\overrightarrow {CP}}={\overrightarrow {CP}}+{\overrightarrow {PD}}={\overrightarrow {CD}}}$,

то есть векторы ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}$ равны^[45].

Задача 6. Доказать, что если две диагонали произвольного четырёхугольника делят друг друга пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм^[42].

Решение. Пусть ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$, ${\displaystyle \mathbf {c} }$ и ${\displaystyle \mathbf {d} }$ — радиус-векторы четырёх последовательных вершин четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ (см. рисунок справа). Тогда, по задаче 1',

${\displaystyle \mathbf {e'} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {c} )}$ —

радиус-вектор середины одной диагонали, а

${\displaystyle \mathbf {e''} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {b} +\mathbf {d} )}$ —

радиус-вектор середины другой диагонали. Поскольку диагонали делят друг друга пополам, то их середины совпадают:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {b} +\mathbf {d} )}$,

${\displaystyle \mathbf {b} -\mathbf {a} =\mathbf {c} -\mathbf {d} }$,

другими словами, вектор ${\displaystyle \mathbf {b} -\mathbf {a} }$ равен и параллелен вектору ${\displaystyle \mathbf {c} -\mathbf {d} }$. Поскольку эти векторы представляют противоположные стороны четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$, то ${\displaystyle ABCD}$ — параллелограмм^[46].

Задача 7. Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и найти радиус-вектор этой точки^[39].

Решение^[47]

Пусть вершины произвольного треугольника ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ имеют радиус-векторы соответственно ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\overrightarrow {OA}}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}={\overrightarrow {OB}}}$ и ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}={\overrightarrow {OC}}}$. Обозначим через ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$ середины сторон соответственно ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$ и ${\displaystyle AB}$ (см. рисунок справа). Тогда, по задаче 1', радиус-вектор

${\displaystyle \mathbf {r} '={\overrightarrow {OA'}}={\frac {1}{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{2}),}$

следовательно, по задаче 1, уравнение прямой, проходящей через две точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle A'}$, то есть уравнение медианы ${\displaystyle AA'}$,

${\displaystyle \mathbf {r} =\lambda \mathbf {r} _{1}+(1-\lambda ){\frac {1}{2}}(\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{3})=\lambda \mathbf {r} _{1}+{\frac {1-\lambda }{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}),}$

где ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — произвольный радиус-вектор. Аналогично уравнение медианы ${\displaystyle BB'}$ следующее^[39]:

${\displaystyle \mathbf {r} =\mu \mathbf {r} _{2}+{\frac {1-\mu }{2}}(\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}).}$

Приравняем оба выражения и получим уравнение точки пересечения медиан ${\displaystyle AA'}$ и ${\displaystyle BB'}$^[39]:

${\displaystyle \lambda \mathbf {r} _{1}+{\frac {1-\lambda }{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3})=\mu \mathbf {r} _{2}+{\frac {1-\mu }{2}}(\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}).}$

Теперь приравняем коэффициенты при ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$^[39]:

${\displaystyle \lambda ={\frac {1-\mu }{2}},\quad \mu ={\frac {1-\lambda }{2}},\quad {\frac {1-\lambda }{2}}={\frac {1-\mu }{2}},}$

откуда

${\displaystyle \lambda =\mu ={\frac {1}{3}},}$

и уравнение точки пересечения медиан ${\displaystyle AA'}$ и ${\displaystyle BB'}$

${\displaystyle \mathbf {r} =\lambda \mathbf {r} _{1}+{\frac {1-\lambda }{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{3}}(\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}).}$

При определении точки пересечения медиан ${\displaystyle BB'}$ и ${\displaystyle CC'}$ будет получен тот же результат по причине симметрии полученного выражения, поэтому третья медиана проходит через ту же точку^[48].

Задача 8. Доказать, что биссектрисы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и найти радиус-вектор этой точки^[49].

Решение^[49]

Пусть биссектрисы ${\displaystyle AA'}$ и ${\displaystyle BB'}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ пересекаются в точке ${\displaystyle P}$ (см. рисунок справа), и пусть

${\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}},\quad \mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}},\quad \mathbf {c} _{1}={\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}}$ —

орты векторов

${\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {BC}},\quad \mathbf {b} ={\overrightarrow {CA}},\quad \mathbf {c} ={\overrightarrow {AB}}}$

соответственно. Отложим единичные векторы ${\displaystyle {\overrightarrow {AK}}=\mathbf {c} _{1}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {AL}}=\mathbf {b} _{1}}$ на сторонах ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle AC}$ соответственно и построим на этих ортах ромб ${\displaystyle AKML}$ (см. рисунок справа)^[48].

Диагональ ${\displaystyle AM}$ этого ромба — биссектриса угла ${\displaystyle A}$. Вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {AP}}}$, направленный по биссектрисе угла ${\displaystyle A}$, коллинеарен вектору ${\displaystyle \mathbf {c} _{1}+(-\mathbf {b} _{1})}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {AP}}=x(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {b} _{1})=x\left({\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\right),}$

где ${\displaystyle x}$ пока не определён^[48].

Либо таким же способом, то есть аналогично, либо заменой символов ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle b}$ на ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle c}$ на ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle y}$, то есть циклической перестановкой, получается уравнение для вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {BP}}}$^[48]:

${\displaystyle {\overrightarrow {BP}}=y(\mathbf {a} _{1}-\mathbf {c} _{1})=y\left({\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}\right).}$

Составим уравнение для нахождения ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$^[48]:

${\displaystyle {\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}},}$

${\displaystyle x\left({\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\right)=\mathbf {c} +y\left({\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}\right).}$

В последнем уравнении нельзя приравнять коэффициенты при ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$, поскольку эти векторы компланарны, то есть

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} =\mathbf {0} }$,

откуда выразим вектор ${\displaystyle \mathbf {a} }$^[48]:

${\displaystyle \mathbf {a} =-\mathbf {b} -\mathbf {c} =\mathbf {0} }$.

Теперь можно сократить количество векторов в уравнении до двух, исключив вектор ${\displaystyle \mathbf {a} }$^[48]:

${\displaystyle x\left({\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\right)=\mathbf {c} +y\left(-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}\right).}$

Поскольку разложение вектора по двум не коллинеарным векторам единственно, приравняем в последнем уравнении по отдельности коэффициенты при векторах ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$^[50]:

${\displaystyle -{\frac {x}{|\mathbf {b} |}}=-{\frac {y}{|\mathbf {a} |}},}$

${\displaystyle {\frac {x}{|\mathbf {c} |}}=1-{\frac {y}{|\mathbf {a} |}}-{\frac {y}{|\mathbf {c} |}},}$

следовательно,

${\displaystyle y={\frac {|\mathbf {a} ||\mathbf {c} |}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},\quad x={\frac {|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},}$

откуда

${\displaystyle {\overrightarrow {AP}}={\frac {|\mathbf {b} |\mathbf {c} -|\mathbf {c} |\mathbf {b} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},\quad {\overrightarrow {BP}}={\frac {|\mathbf {c} |\mathbf {a} -|\mathbf {a} |\mathbf {c} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}.}$

Аналогично, если ${\displaystyle P'}$ — точка пересечения биссектрис ${\displaystyle BB'}$ и ${\displaystyle CC'}$, то тогда

${\displaystyle {\overrightarrow {BP'}}={\frac {|\mathbf {c} |\mathbf {a} -|\mathbf {a} |\mathbf {c} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},\quad {\overrightarrow {CP'}}={\frac {|\mathbf {a} |\mathbf {b} -|\mathbf {b} |\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},}$

следовательно, ${\displaystyle {\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {BP'}}}$, то есть точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle P'}$ совпадают и биссектрисы пересекаются в одной точке^[50].

Пусть теперь ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\overrightarrow {OA}}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}={\overrightarrow {OB}}}$ и ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}={\overrightarrow {OC}}}$ — радиус-векторы вершин соответственно ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$, тогда радиус-вектор ${\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}}$ точки пересечения биссектрис следующий^[50]:

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}+{\overrightarrow {AP}}={\frac {(|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |)\mathbf {r} _{1}}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}+{\frac {|\mathbf {b} |(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-|\mathbf {c} |(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3})}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}=}$

${\displaystyle ={\frac {|\mathbf {a} |\mathbf {r} _{1}+|\mathbf {b} |\mathbf {r} _{2}+|\mathbf {c} |\mathbf {r} _{3}}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}.}$

Задача 9. В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$ лежат произвольно на сторонах ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно. Найти соотношение между шестью отрезками ${\displaystyle AC'}$, ${\displaystyle C'B}$, ${\displaystyle BA'}$, ${\displaystyle A'C}$, ${\displaystyle CB'}$ и ${\displaystyle B'C}$, при которых прямые ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$ и ${\displaystyle CC'}$ пересекаются в одной точке ${\displaystyle P}$^[51].

Решение^[52]

1. Необходимость. Поместим точку ${\displaystyle O}$ вне плоскости треугольника ${\displaystyle ABC}$, и пусть ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\overrightarrow {OA}}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}={\overrightarrow {OB}}}$ и ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}={\overrightarrow {OC}}}$ — радиус-векторы соответствующих вершин треугольника, а ${\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {P}}}$ — радиус-вектор точки ${\displaystyle P}$ пересечения трёх прямых ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$ и ${\displaystyle CC'}$ (см. рисунок справа). Разложим вектор ${\displaystyle \mathbf {r} }$ по трём некомпланарным векторам ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$^[52]:

${\displaystyle \mathbf {r} =\alpha _{1}\mathbf {r} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {r} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {r} _{3}}$,

причём, по задаче 2,

${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=1}$.

Рассмотрим точку ${\displaystyle A'}$. Поскольку она лежит на прямой ${\displaystyle AP}$, то, согласно задаче 1, её радиус-вектор

${\displaystyle OA'=\lambda \mathbf {r} +(1-\lambda )\mathbf {r} _{1}=\lambda (\alpha _{1}\mathbf {r} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {r} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {r} _{3})+(1-\lambda )\mathbf {r} _{1}=}$

${\displaystyle =(\lambda \alpha _{1}+1-\lambda )\mathbf {r} _{1}+\lambda \alpha _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda \alpha _{3}\mathbf {r} _{3}}$,

а поскольку точка ${\displaystyle A'}$ лежит также и на прямой ${\displaystyle BC}$, то, по той же задаче 1,

${\displaystyle \lambda \alpha _{1}+1-\lambda -0,\quad \lambda \alpha _{2}+\lambda \alpha _{3}=1}$,

причём оба эти соотношения дают один и тот же результат

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{1-\alpha _{1}}}={\frac {1}{\alpha _{2}+\alpha _{3}}}}$,

откуда окончательно имеем следующее выражение для радиус-вектора ${\displaystyle OA'}$^[53]:

${\displaystyle OA'={\frac {\alpha _{2}\mathbf {r} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {r} _{3}}{\alpha _{2}+\alpha _{3}}}}$.

Сравним последнее выражение с формулой ${\displaystyle \mathbf {c} ={\frac {y\mathbf {a} +x\mathbf {b} }{x+y}}}$ из задачи 1, получаем^[53]:

${\displaystyle {\frac {BA'}{A'C}}={\frac {\alpha _{3}}{\alpha _{2}}}}$.

Аналогично заключаем^[53]:

${\displaystyle {\frac {CB'}{B'A}}={\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{3}}},\quad ,{\frac {AC'}{C'B}}={\frac {\alpha _{2}}{\alpha _{1}}}}$.

Перемножим последние три равенства, окончательно найдём требующееся соотношение между шестью отрезками^[53]:

${\displaystyle {\frac {BA'\cdot CB'\cdot AC'}{A'C\cdot B'A\cdot C'B}}=1}$,

или

${\displaystyle BA'\cdot CB'\cdot AC'=A'C\cdot B'A\cdot C'B}$.

2. Достаточность. Последнее выражение является также и достаточным условием того, что прямые ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$ и ${\displaystyle CC'}$ пересекаются в одной точке. Действительно, пусть прямые ${\displaystyle AA'}$ и ${\displaystyle BB'}$ пересекаются в точке ${\displaystyle P}$, и пусть тогда прямая ${\displaystyle CP}$ пересекает сторону ${\displaystyle AB}$ треугольника в некоторой точке ${\displaystyle C''}$, для которой по только что доказанному выполняется следующее условие^[53]:

${\displaystyle {\frac {AC''}{C''B}}={\frac {A'C\cdot B'A}{BA'\cdot CB'}}}$.

Но по условию достаточности выполнено условие

${\displaystyle BA'\cdot CB'\cdot AC'=A'C\cdot B'A\cdot C'B}$,

следовательно,

${\displaystyle {\frac {AC'}{C'B}}={\frac {A'C\cdot B'A}{BA'\cdot CB'}}}$,

поэтому точки ${\displaystyle C''}$ и ${\displaystyle C'}$ совпадают^[53].

Задача 10. Доказать, что описанное ниже рекуррентное построение доставляет любую целую часть, то есть половину, треть, четверть и так далее, заданного отрезка ${\displaystyle AB}$ (см. рисунок справа)^[50]:

• параллельно заданному отрезку ${\displaystyle AB}$ проведём прямую ${\displaystyle CD}$. Затем через точку ${\displaystyle O}$, расположенную с одной стороны этих отрезков, проведём прямые ${\displaystyle OA}$ и ${\displaystyle OB}$, пересекающие прямую ${\displaystyle CD}$ в точка ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ соответственно;
• диагонали трапеции ${\displaystyle ABDC}$ пересекаются в точке ${\displaystyle K_{2}}$. Прямая ${\displaystyle OK_{2}}$ пересекает отрезок ${\displaystyle AB}$ в точке ${\displaystyle L_{2}}$. Получаем, что ${\displaystyle AL_{2}={\frac {1}{2}}AB;}$
• прямая ${\displaystyle CL_{2}}$ пересекает диагональ ${\displaystyle AD}$ в точке ${\displaystyle K_{3}}$. Прямая ${\displaystyle OK_{3}}$ пересекает отрезок ${\displaystyle AB}$ в точке ${\displaystyle L_{3}}$. Получаем, что ${\displaystyle AL_{3}={\frac {1}{3}}AB}$. И так далее.