Линейно упорядоченное множество

Лине́йно упоря́доченное мно́жество (цепь, сокр. ЛУМ) ― частично упорядоченное множество, в котором любая пара элементов сравнима, то есть для любых двух элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ имеет место ${\displaystyle a\leqslant b}$ или ${\displaystyle b\leqslant a}$.

Одно из центральных понятий в теории порядков; играет важную роль в общей алгебре, в частности, особо изучаются упорядоченные группы, упорядоченные кольца, упорядоченные поля. Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств ― вполне упорядоченные множества.

Сечением линейно упорядоченного множества ${\displaystyle P}$ называется разбиение его на два подмножества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ так, что ${\displaystyle A\cup B=P}$, ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ и для любых ${\displaystyle a\in A}$ и ${\displaystyle b\in B}$: ${\displaystyle a\leqslant b}$. Классы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются соответственно нижним и верхним классами сечения.

Различаются следующие типы сечений:

• скачок ― в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем ― наименьший;
• дедекиндово сечение ― в верхнем классе нет наименьшего элемента или в нижнем классе нет наибольшего, но не одновременно;
• щель ― в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем ― наименьшего.

Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы.

Подмножество ${\displaystyle D}$ линейно упорядоченного множества ${\displaystyle P}$ называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества ${\displaystyle P}$ содержит элементы, принадлежащие ${\displaystyle D}$.

Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным.

Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим).^[1]

Линейно упорядоченное множество вещественных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество, в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество.

Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству отрезка ${\displaystyle [0,1]}$ с порядком, унаследованным от ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Решётка ${\displaystyle L}$ изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая её подрешетка является ретрактом.