Логарифмическая производная

Логарифмическая произво́дная — производная от натурального логарифма функции.

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}}$

Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функций, например сложно-показательных.

Пусть ${\displaystyle f(x)=u(x)^{g(x)}}$ (для краткости ${\displaystyle f=u^{g}}$, где u и g - функции).

Тогда ${\displaystyle \ln f=\ln u^{g}=g\ln u}$, ${\displaystyle (\ln f)'=(g\ln u)'=g'\cdot \ln u+g\cdot {\frac {u'}{u}}}$. С другой стороны, ${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}}$, т.е. ${\displaystyle f'=f\cdot (\ln f)'}$.

Окончательно имеем ${\displaystyle (u^{g})'=u^{g}(g'\cdot \ln u+g\cdot {\frac {u'}{u}})}$

Пусть задана функция ${\displaystyle f(x)=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(x)}$ (для краткости ${\displaystyle f=\prod _{i=1}^{n}g_{i}}$).

Так как ${\displaystyle f'=f\cdot (\ln f)'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(\ln \prod _{j=1}^{n}g_{j})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(\sum _{j=1}^{n}\ln g_{j})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{j=1}^{n}(\ln g_{j})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j}}}}$.

Окончательно получаем: ${\displaystyle f'=(\prod _{i=1}^{n}g_{i})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j}}}=f\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j}}}}$.

Можно расписать формулу и прийти к другой форме:

Если ${\displaystyle f=g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}}$, то ${\displaystyle f'=g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}\cdot \left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\ldots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}$

Раскрыв скобки, получим: ${\displaystyle f'=g_{1}'\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}+g_{1}\cdot g_{2}'\cdot \ldots \cdot g_{n}+\ldots +g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}'}$

В частности, если ${\displaystyle f={\frac {u_{1}^{\alpha _{1}}\cdot u_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot u_{m}^{\alpha _{m}}}{v_{1}^{\beta _{1}}\cdot v_{2}^{\beta _{2}}\cdot \ldots \cdot v_{n}^{\beta _{n}}}}}$, то ${\displaystyle f'={\frac {u_{1}^{\alpha _{1}}\cdot u_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot u_{m}^{\alpha _{m}}}{v_{1}^{\beta _{1}}\cdot v_{2}^{\beta _{2}}\cdot \ldots \cdot v_{n}^{\beta _{n}}}}\cdot \left(\alpha _{1}\cdot {\frac {u_{1}'}{u_{1}}}+\alpha _{2}\cdot {\frac {u_{2}'}{u_{2}}}+\ldots +\alpha _{m}\cdot {\frac {u_{m}'}{u_{m}}}-\beta _{1}\cdot {\frac {v_{1}'}{v_{1}}}-\beta _{2}\cdot {\frac {v_{2}'}{v_{2}}}-\ldots -\beta _{n}\cdot {\frac {v_{n}'}{v_{n}}}\right)}$

Найдем производную, ${\displaystyle {\frac {df}{dx}}}$ от функции ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$:

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=f(\ln f)'=x^{x}(x\ln x)'=x^{x}(\ln x+1)}$

• Производная