Логарифмический потенциал

Логарифми́ческим потенциа́лом называют функцию, определённую в ℝ² как свертка обобщённой функции ρ с функцией -ln|z|:

${\displaystyle V=-\rho \ln |z|.}$

Логарифмический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона ΔV = −2πρ. По аналогии с ньютоновым потенциалом можно рассматривать три частных случая логарифмического потенциала.

Физический смысл логарифмических потенциалов заключается в том, что они соответствуют потенциалу, создаваемому зарядами (или массами) в двумерной электростатике (или двумерной ньютоновской гравитации), распределенными с (двумерной) плотностью ρ. С точки зрения обычной трехмерной электростатики, речь идет об электростатическом потенциале, создаваемом распределением зарядов, обладающим трансляционной симметрией по одной из пространственных осей (по оси, ортогональной к плоскости, декартовы координаты на которой есть компоненты вектора z - или его действительная и мнимая часть, если считать z комплексным числом), иными словами, распределением зарядов, не зависящим от третьей координаты, постоянным по ней (потенциал заряженной нити).

${\displaystyle V(z)=\iint \limits _{G}\rho (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}d\xi \,d\eta ,\qquad \zeta =\xi +i\eta .}$

Если ${\displaystyle \rho (z)\in C({\overline {G}})}$, то сам потенциал ${\displaystyle V(z)\in C^{1}(\mathbb {R} ^{2})}$ гармоничен в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus G}$ и

${\displaystyle V(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\iint \limits _{G}\rho (\zeta )d\xi \,d\eta +O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .}$

• Здесь, как это часто делается, подразумевается представление ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ как комплексной плоскости; впрочем, в рамках определений это несущественно, и в этом смысле здесь можно всюду заменить комплексные переменные ${\displaystyle \zeta ,\ z}$ просто на двумерные векторы, а модуль комплексного числа - на евклидову норму в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, а если ${\displaystyle \rho }$ также комплексно, можно рассматривать отдельно его действительную и мнимую части.

${\displaystyle V^{(0)}(z)=\mu \delta _{S}\ln {\frac {1}{|z|}}=\int \limits _{S}\mu (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}dS_{\zeta }.}$

Если ${\displaystyle \mu (z)\in C(S)}$, то сам потенциал ${\displaystyle V^{(0)}(z)\in C(\mathbb {R} ^{2})}$ гармоничен в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus S}$ и

${\displaystyle V^{(0)}(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\int \limits _{S}\mu (\zeta )dS_{\zeta }+O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .}$

Если S — кривая Ляпунова, то потенциал имеет производные, причем на самой кривой наблюдается их разрыв:

${\displaystyle \left({\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}\right){\Bigg |}_{+}=-\pi \mu (z)+{\frac {\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf {n} }},}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}\right){\Bigg |}_{-}=\pi \mu (z)+{\frac {\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf {n} }}.}$

${\displaystyle V^{(1)}(z)=-\ln {\frac {1}{|z|}}*{\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}(\nu \delta _{S})=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}\left(\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}\right)dS_{\zeta }=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\cos \varphi }{|z-\zeta |}}dS_{\zeta },}$

где φ — угол между нормалью в точке ζ и радиус-вектором, проведённым в эту точку из точки z.

Если ${\displaystyle \nu (z)\in C(S)}$, то сам потенциал ${\displaystyle V^{(1)}(z)}$ гармоничен в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus G}$ и

${\displaystyle V^{(1)}(z)=O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .}$

Если S — кривая Ляпунова, то:

${\displaystyle V^{(1)}\in C({\overline {G}})\cap C(S)\cap C(\mathbb {R} ^{2}\setminus G)}$

и

${\displaystyle V_{+}^{(1)}(z)=\pi \nu (z)+V^{(1)}(z),}$

${\displaystyle V_{-}^{(1)}(z)=-\pi \nu (z)+V^{(1)}(z).}$

Если, к тому же, плотность — постоянная величина, потенциал равен

${\displaystyle V^{(1)}={\begin{cases}-2\pi \nu ,\ z\in G,\\-\pi \nu ,\ z\in S,\\0,\ z\in \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {G}}.\end{cases}}}$

• Задача Дирихле
• Задача Неймана
• Краевая задача
• Ньютонов потенциал
• Теория потенциала

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
• А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.

• [bse.sci-lib.com/article091961.html Потенциал в Большой советской энциклопедии]