Локальная теорема Муавра — Лапласа

Теорема Муавра — Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Если при каждом из ${\displaystyle n}$ независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события ${\displaystyle E}$ равна ${\displaystyle p\in (0,1)}$, и ${\displaystyle m}$ — число испытаний, в которых ${\displaystyle E}$ фактически наступает, то вероятность справедливости неравенства близка (при больших ${\displaystyle n}$) к значению интеграла Лапласа.

При рассмотрении количества ${\displaystyle m}$ появлений события ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle n}$ испытаниях Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что ${\displaystyle m}$ заключено между некоторыми значениями ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Так как при достаточно больших ${\displaystyle n}$ промежуток ${\displaystyle [a,b]}$ содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения

${\displaystyle p_{n}(m)={\frac {n!}{m!(n-m)!}}p^{m}q^{n-m}}$

требует громоздких вычислений, так как нужно суммировать большое число определённых по этой формуле вероятностей.

Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что ${\displaystyle p}$ фиксировано, а ${\displaystyle n\rightarrow +\infty }$. Теорема Муавра — Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.

Если в схеме Бернулли ${\displaystyle n}$ стремится к бесконечности, величина ${\displaystyle p\in (0,1)}$ постоянна, а величина ${\displaystyle x_{m}={\frac {m-np}{\sqrt {npq}}}}$ ограничена равномерно по ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ (то есть ${\displaystyle \exists a,b:-\infty <a\leqslant x_{m}\leqslant b<+\infty }$), то

${\displaystyle P_{n}(m)={\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2}}{2}}\right)(1+\alpha _{n}(m))}$

где ${\displaystyle \left|\alpha _{n}(m)\right|<{\frac {c}{\sqrt {n}}},c={\text{const}}>0}$.

Приближённую формулу

${\displaystyle P_{n}(m)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2}}{2}}\right)}$

рекомендуется применять при ${\displaystyle n>100}$ и при ${\displaystyle m>20}$.

Для доказательства теоремы будем использовать формулу Стирлинга из математического анализа:

${\displaystyle s!={\sqrt {2\pi }}s^{s+1/2}e^{-s}e^{\theta _{s}},}$ (1)

где ${\displaystyle 0<\theta _{s}<1/{12s}}$.

При больших ${\displaystyle s}$ величина ${\displaystyle \theta }$ очень мала, и приближённая формула Стирлинга, записанная в простом виде

${\displaystyle s!={\sqrt {2\pi }}s^{s+1/2}e^{-s}}$ (2)

даёт малую относительную ошибку, быстро стремящуюся к нулю при ${\displaystyle s\rightarrow +\infty }$.

Нас будут интересовать значения ${\displaystyle m}$, не очень отличающиеся от наивероятнейшего. Тогда при фиксированном ${\displaystyle p}$ условие ${\displaystyle n\rightarrow +\infty }$ будет также означать, что

${\displaystyle m\rightarrow +\infty ,n-m\rightarrow +\infty .}$ (3)

Поэтому использование приближённой формулы Стирлинга для замены факториалов в биномиальном распределении допустимо, и мы получаем

${\displaystyle p_{n}(m)\approx {\sqrt {\frac {n}{2\pi m(n-m)}}}\left({\frac {np}{m}}\right)^{m}\left({\frac {nq}{n-m}}\right)^{n-m}.}$ (4)

Также понадобится использование отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения:

${\displaystyle x_{m}={\frac {m}{n}}-p.}$ (5)

Тогда выражение (4) приобретает вид:

${\displaystyle p_{n}(m)=\left[2\pi n(p+x_{m})(q-x_{m})\right]^{-1/2}\left(1+{\frac {x_{m}}{p}}\right)^{-n(p+x_{m})}\left(1-{\frac {x_{m}}{q}}\right)^{-n(q-x_{m})}.}$ (6)

Предположим, что

${\displaystyle x_{m}<pq.}$ (7)

Взяв логарифм второго и третьего множителей равенства (6), применим разложение в ряд Тейлора:

${\displaystyle -n\left[(p+x_{m})\ln {\left(1+{\frac {x_{m}}{p}}\right)}+(q-x_{m})\ln {\left(1-{\frac {x_{m}}{q}}\right)}\right]=}$

${\displaystyle -n\left[(p+x_{m})\left({\frac {x_{m}}{p}}-{\frac {x_{m}^{2}}{2p^{2}}}+{\frac {x_{m}^{3}}{3p^{3}}}-\cdots \right)+(q-x_{m})\left(-{\frac {x_{m}}{q}}-{\frac {x_{m}^{2}}{2q^{2}}}-{\frac {x_{m}^{3}}{3q^{3}}}-\cdots \right)\right].}$ (8)

Располагаем члены этого разложения по степеням ${\displaystyle x_{m}}$:

${\displaystyle -n\left[{\frac {x_{m}^{2}}{2}}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\right)-{\frac {x_{m}^{3}}{6}}\left({\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{q^{2}}}\right)+\cdots \right].}$ (9)

Предположим, что при ${\displaystyle n\rightarrow +\infty ,}$

${\displaystyle nx_{m}^{3}\rightarrow 0.}$ (10)

Это условие, как уже было указано выше, означает, что рассматриваются значения ${\displaystyle m}$ не очень далёкие от наивероятнейшего. Очевидно, что (10) обеспечивает выполнение (7) и (3).

Теперь, пренебрегая вторым и последующими членами в разложении (6), получаем, что логарифм произведения второго и третьего членов произведения в правой части (8) равен

${\displaystyle -{\frac {n}{2pq}}x_{m}^{2}.}$ (11)

Отбрасывая малые слагаемые в скобках первого множителя (6), получаем

${\displaystyle p_{n}(m)\approx \left({\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\right)\exp {\left(-{\frac {n}{2pq}}x_{m}^{2}\right)}.}$ (12)

Обозначив

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {pq}{n}}},}$ (13)

переписываем (12) в виде

${\displaystyle p_{n}(m)\approx {\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left(-{\frac {x_{m}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}={\frac {1}{n}}\varphi (x_{m}),}$ (14)

Где ${\displaystyle \varphi (x_{m})}$ — нормальная функция.

Поскольку в интервале ${\displaystyle [m,m+1)}$ имеется только одно целое число ${\displaystyle m}$, то можно сказать, что ${\displaystyle p_{n}(m)}$ есть вероятность попадания ${\displaystyle m}$ в интервал ${\displaystyle [m,m+1)}$. Из (5) следует, что изменению ${\displaystyle m}$ на 1 соответствует изменение ${\displaystyle x_{m}}$ на

${\displaystyle \Delta x={\frac {1}{n}}.}$ (15)

Поэтому вероятность попадания ${\displaystyle m}$ в интервал ${\displaystyle [m,m+1)}$ равна вероятности попадания ${\displaystyle x_{m}}$ в промежуток ${\displaystyle [x_{m0},x_{m0}+\Delta x),}$

${\displaystyle P(x_{m0}\leq x_{m}\leq x_{m0}+\Delta x)=\varphi (x_{m})\Delta x.}$ (16)

Если ${\displaystyle n\rightarrow +\infty }$, то ${\displaystyle \Delta x\rightarrow +0}$ и равенство (16) показывает, что нормальная функция ${\displaystyle \varphi (x)}$ является плотностью случайной переменной ${\displaystyle x_{m}}$.

Таким образом, если ${\displaystyle n\rightarrow +\infty ,nx^{3}\rightarrow 0}$ то для отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения справедлива асимптотическая формула (16), в которой ${\displaystyle \varphi (x)}$ — нормальная функция с ${\displaystyle x_{m}=0}$ и ${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {pq}{n}}}$.

Таким образом, теорема доказана.

• Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — М.: Высшее образование. 2005
• Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.
• Чистяков В. П. Курс теории вероятностей, — М., 1982.