Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица, матрица многочленов) — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем[1]:

Связанные определения
Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени
и нет элементов матрицы степени большей чем
, то
— степень λ-матрицы. Используя обычные операции над матрицами любую λ-матрицу можно представить в виде

где все
— матрицы. В случае если определитель матрицы
отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной[2]. Пример нерегулярной λ-матрицы:

Алгебра λ-матриц
Сложение и умножение
λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица. Пусть
и
— λ-матрицы одного и того же порядка, имеющие степени
и
соответственно, и
. Тогда можно записать, что


где хотя бы одна из матриц
и
— ненулевая. Отсюда[3]


Деление
Предположим, что
— регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы
и
с
или со степенью
, меньшей степени
, что
.
В этом случае
называется правым частным
при делении на
, а
— правым остатком. Подобно этому
и
— левое частное и левый остаток при делении
на
, если

и
или степень
меньше степени
.
Если правый (левый) остаток равен 0, то
называется правым (левым) делителем
при делении на
[4].
Если
— регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении
на
существуют и единственны[5].
λ-матрицы с матричными аргументами
Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное

поэтому мы определяем правое значение
λ-матрицы
в матрице
как
, если 
и левое значение
как:
,
и в общем случае
[6].
Теорема Безу для λ-матриц
Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов: правым и левым остатком от деления λ-матрицы
на
, где
— единичная матрица, является
и
соответственно[7].
Свойство доказывается через следующее разложение на множители:

При умножении обеих частей этого равенства на
слева и сложении всех полученных равенств при
правая часть будет иметь вид
, где
— некоторая λ-матрица. Левая часть равенства, в свою очередь, будет равна

Таким образом,
.
Результат теперь следует из единственности правого остатка. Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного выражения на
справа и суммированием.
Следствие: чтобы λ-матрица
делилась без остатка на
справа (слева) необходимо и достаточно, чтобы
[7].
Примечания
- ↑ Гантмахер, 1966, с. 135.
- ↑ Ланкастер, 1982, с. 116.
- ↑ Ланкастер, 1982, с. 116—117.
- ↑ Ланкастер, 1982, с. 117.
- ↑ Ланкастер, 1982, с. 117—118.
- ↑ Ланкастер, 1982, с. 119.
- ↑ 1 2 Гантмахер, 1966, с. 92.
Литература
 Векторы и матрицы |
---|
Векторы | Основные понятия | |
---|
Виды векторов | |
---|
Операции над векторами | |
---|
Типы пространств | |
---|
|
---|
Матрицы | |
---|
Другое | |
---|