Лямбда-матрица

Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица, матрица многочленов) — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем^[1]:

${\displaystyle A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}a_{11}(\lambda )&a_{12}(\lambda )&\cdots &a_{1n}(\lambda )\\a_{21}(\lambda )&a_{22}(\lambda )&\cdots &a_{2n}(\lambda )\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(\lambda )&a_{n2}(\lambda )&\cdots &a_{nn}(\lambda )\end{bmatrix}},\qquad a_{ij}(\lambda )=a_{ij}^{(l)}\lambda ^{l}+a_{ij}^{(l-1)}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{ij}^{(1)}\lambda +a_{ij}^{(0)}.}$

Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени ${\displaystyle l}$ и нет элементов матрицы степени большей чем ${\displaystyle l}$, то ${\displaystyle l}$ — степень λ-матрицы. Используя обычные операции над матрицами любую λ-матрицу можно представить в виде

${\displaystyle A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0},}$

где все ${\displaystyle A_{j}}$ — матрицы. В случае если определитель матрицы ${\displaystyle A_{l}}$ отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной^[2]. Пример нерегулярной λ-матрицы:

${\displaystyle A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}\lambda ^{4}+\lambda ^{2}+\lambda -1&\lambda ^{3}+\lambda ^{2}+\lambda +2\\2\lambda ^{3}-\lambda &2\lambda ^{2}+2\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\lambda ^{4}+{\begin{bmatrix}0&1\\2&0\end{bmatrix}}\lambda ^{3}+{\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}}\lambda ^{2}+{\begin{bmatrix}1&1\\-1&2\end{bmatrix}}\lambda +{\begin{bmatrix}-1&2\\0&0\end{bmatrix}}.}$

λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица. Пусть ${\displaystyle A\left(\lambda \right)}$ и ${\displaystyle B\left(\lambda \right)}$ — λ-матрицы одного и того же порядка, имеющие степени ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle m}$ соответственно, и ${\displaystyle k=\max \left\lbrace l,m\right\rbrace }$. Тогда можно записать, что

${\displaystyle A\left(\lambda \right)=A_{k}\lambda ^{k}+A_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0},}$

${\displaystyle B\left(\lambda \right)=B_{k}\lambda ^{k}+B_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +B_{1}\lambda +B_{0},}$

где хотя бы одна из матриц ${\displaystyle A_{k}}$ и ${\displaystyle B_{k}}$ — ненулевая. Отсюда^[3]

${\displaystyle A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)=(A_{k}+B_{k})\lambda ^{k}+(A_{k-1}+B_{k-1})\lambda ^{k-1}+\cdots +(A_{1}+B_{1})\lambda +(A_{0}+B_{0}),}$

${\displaystyle A\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=A_{k}B_{k}\lambda ^{2k}+(A_{k}B_{k-1}+A_{k-1}B_{k})\lambda ^{2k-1}+\cdots +(A_{1}B_{0}+A_{0}B_{1})\lambda +(A_{0}B_{0}).}$

Предположим, что ${\displaystyle B(\lambda )}$ — регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы ${\displaystyle Q(\lambda )}$ и ${\displaystyle R(\lambda )}$ с ${\displaystyle R(\lambda )\equiv 0}$ или со степенью ${\displaystyle R(\lambda )}$, меньшей степени ${\displaystyle B(\lambda )}$, что

${\displaystyle A(\lambda )=Q(\lambda )B(\lambda )+R(\lambda )}$.

В этом случае ${\displaystyle Q(\lambda )}$ называется правым частным ${\displaystyle A(\lambda )}$ при делении на ${\displaystyle B(\lambda )}$, а ${\displaystyle R(\lambda )}$ — правым остатком. Подобно этому ${\displaystyle {\hat {Q}}(\lambda )}$ и ${\displaystyle {\hat {R}}(\lambda )}$ — левое частное и левый остаток при делении ${\displaystyle A(\lambda )}$ на ${\displaystyle B(\lambda )}$, если

${\displaystyle A(\lambda )=B(\lambda ){\hat {Q}}(\lambda )+{\hat {R}}(\lambda )}$

и ${\displaystyle {\hat {R}}(\lambda )\equiv 0}$ или степень ${\displaystyle {\hat {R}}(\lambda )}$ меньше степени ${\displaystyle B(\lambda )}$.

Если правый (левый) остаток равен 0, то ${\displaystyle Q(\lambda )}$ ${\displaystyle ({\hat {Q}}(\lambda ))}$ называется правым (левым) делителем ${\displaystyle A(\lambda )}$ при делении на ${\displaystyle B(\lambda )}$^[4].

Если ${\displaystyle B(\lambda )}$ — регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении ${\displaystyle A(\lambda )}$ на ${\displaystyle B(\lambda )}$ существуют и единственны^[5].

Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное

${\displaystyle a_{l}\lambda ^{l}+a_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=\lambda ^{l}a_{l}+\lambda ^{l-1}a_{l-1}+\cdots +\lambda a_{1}+a_{0},}$

поэтому мы определяем правое значение ${\displaystyle A(B)}$ λ-матрицы ${\displaystyle A(\lambda )}$ в матрице ${\displaystyle B}$ как

${\displaystyle A\left(B\right)=A_{l}B^{l}+A_{l-1}B^{l-1}+\cdots +A_{1}B+A_{0}}$, если ${\displaystyle A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0}}$

и левое значение ${\displaystyle {\hat {A}}(B)}$ как:

${\displaystyle {\hat {A}}\left(B\right)=B^{l}A_{l}+B^{l-1}A_{l-1}+\cdots +BA_{1}+A_{0}}$,

и в общем случае ${\displaystyle A(B)\neq {\hat {A}}(B)}$^[6].

Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов: правым и левым остатком от деления λ-матрицы ${\displaystyle A(\lambda )}$ на ${\displaystyle \lambda E-B}$, где ${\displaystyle E}$ — единичная матрица, является ${\displaystyle A(B)}$ и ${\displaystyle {\hat {A}}(B)}$ соответственно^[7].

Свойство доказывается через следующее разложение на множители:

${\displaystyle \lambda ^{j}E-B^{j}=(\lambda ^{j-1}E+\lambda ^{j-2}B+\cdots +\lambda B^{j-2}+B^{j-1})(\lambda E-B).}$

При умножении обеих частей этого равенства на ${\displaystyle A_{j}}$ слева и сложении всех полученных равенств при ${\displaystyle j=1,\cdots ,l}$ правая часть будет иметь вид ${\displaystyle C(\lambda )(\lambda E-B)}$, где ${\displaystyle \ C(\lambda )}$ — некоторая λ-матрица. Левая часть равенства, в свою очередь, будет равна

${\displaystyle \sum _{j=1}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=1}^{l}A_{j}B^{j}=\sum _{j=0}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=0}^{l}A_{j}B^{j}=A(\lambda )-A(B).}$

Таким образом,

${\displaystyle A(\lambda )=C(\lambda )(\lambda E-B)+A(B)}$.

Результат теперь следует из единственности правого остатка. Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного выражения на ${\displaystyle A_{j}}$ справа и суммированием.

Следствие: чтобы λ-матрица ${\displaystyle A(\lambda )}$ делилась без остатка на ${\displaystyle \lambda E-B}$ справа (слева) необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle A(B)=0}$ ${\displaystyle \left({\hat {A}}(B)=0\right)}$^[7].

• Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1966.
• Ланкастер, П.. Теория матриц. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1982.