Магический квадрат

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — квадратная таблица , заполненная различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от до . Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна .

Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков , за исключением , хотя случай тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

2 7 6 15
9 5 1 15
4 3 8 15
15 15 15 15 15

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

Первые значения магических констант приведены в следующей таблице (последовательность A006003 в OEIS):

Порядок 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105

Исторически значимые магические квадраты

Квадрат Ло Шу

Изображение Ло Шу в книге эпохи Мин

Ло Шу (кит. трад. 洛書, упр. 洛书, пиньинь luò shū) Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 г. до н. э.

492
357
816

В Западноевропейской традиции этот квадрат называется «Печать Сатурна» (Sigillum Saturni). Параметры квадрата: 3, 9, 15, 45 (3х3, 9 ячеек, сумма по всем направлениям 15, сумма всех чисел в квадрате — 45).[1]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

45 : 3 = 15

Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)

Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо:

712114
213811
163105
96154

Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов[2].

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)

В XIII в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37)[3]:

2729241336
91120223118
3225732123
14163430125
28615172619
1243335810

Сумма всех 36 чисел равна 666

666 : 6 = 111

Квадрат Альбрехта Дюрера

Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве[4]. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры (1514).

163213
510118
96712
415141

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Данный квадрат является «Печатью Юпитера» (Sigillum Iouis), имеет параметры: 4, 16, 34, 136 (размер 4х4, 16 ячеек, сумма по направлениям — 34, сумма всех чисел равна 136).[1]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Магические квадраты Афанасия Кирхера[1]

Квадрат Марса

Квадрат или печать Марса (Sigillum Martis) имеет параметры: 5, 25, 65, 325 (размер 5х5, 25 ячеек, сумма по направлениям — 65, сумма всех чисел равна 325).

11247203
41225816
17513219
101811422
23619215

350 : 5 = 70

Квадрат Солнца

Печать Солнца (Sigillum Solis) имеет параметры: 6, 36, 111, 666 (размер 6х6, 36 ячеек, сумма по направлениям — 111, сумма всех чисел равна 666).

632334351
7112728830
191416152324
182022211713
25291092612
365334231

666 : 6 = 111

Квадрат Венеры

Печать Венеры (Sigillum Veneris) имеет параметры: 7, 49, 175, 1225 (размер 7х7, 49 ячеек, сумма по направлениям — 175, сумма всех чисел — 1225).

2247164110354
5234817421129
3062449183612
1331725431937
3814321264420
213983322745
461540934328

1225 : 7 = 175

Квадрат Меркурия

Печать Меркурия (Sigillum Mercurio) имеет параметры: 8, 64, 260, 2080 (размер 8х8, 64 ячейки, сумма по направлениям — 260, сумма всех чисел — 2080).

858595462631
4915145253111056
4123224445191848
3234352928383925
4026273736303133
1747462021434224
955541213515016
642361606757

2080 : 8 = 260

Квадрат Луны

Печать Луны (Sigillum Lune) имеет параметры : 9, 81, 369, 3321 (размер 9х9, 81 ячейка, сумма по направлениям — 369, сумма всех чисел — 3321).

37782970216213545
63879307122631446
47739803172235515
16488408132642456
57174994173336525
26581850142743466
67275910512437535
36681960115234476
77286920611253445

3321 : 9 = 369

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.

Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные простыми числами (хотя 1 в современной теории чисел не считается простым числом). Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия[5]:

68244
143862
32748
4622040
4432442
8127430
68182415

Есть еще несколько подобных примеров:

178971
113595
4729101
18238218098117971929313312337
8983211796416316197096175343739
97227103107193557719727607139757281
223653499197109113563479173761587157
367379521383241467257263269167601599
349359353647389331317311409307293449
50352323333754739742117401271431433
229491373487461251443463137439457283
50919973541347191181569577571163593
661101643239691701127131179613277151
659673677683716761475974373341
8273751311787769773419149751

Последний квадрат, построенный в 1913 г. Дж. Н. Манси, примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.

Квадраты с дополнительными свойствами

Пандиагональный магический квадрат

Пандиагональный или дьявольский квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям[англ.] (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 в стандартной форме Френикля[фр.] — с точностью до поворотов и отражений. Пандиагональный квадрат сохраняет свойства при параллельном переносе строк или столбцов. Поэтому единицу можно переместить в левый верхний угол. Таких пандиагональных квадратов на плоскости 12. Они приведены ниже:

181015
141154
72169
121336
181015
121336
72169
141154
112714
15694
103165
813211
114712
15496
105163
811213
181312
151036
45169
141127
181312
141127
45169
151036
112138
147211
49165
156310
112138
156310
49165
147211
181114
151054
63169
121327
181114
121327
63169
151054
114118
154510
69163
127213
112615
14794
112165
813310

На торе каждой четвёрке таких квадратов соответствует один квадрат. Это происходит потому, что если разрезать тор, начиная с единичной клетки как угловой, то это можно сделать четырьмя способами, сопоставляя каждому из четырёх углов единичной клетки угол плоского квадрата. Поэтому пандиагональных квадратов на торе всего 3. Для изображения торического квадрата на плоскости можно использовать любой из соответствующей ему четвёрки.

Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности ().

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные[6].

С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.

11524817
91821125
122110193
20413226
23716514
Разломанные диагонали пандиагонального квадрата

Если пандиагональный квадрат ещё и ассоциативный, то он носит название идеальный[7]. Пример идеального магического квадрата:

21 32 70 26 28 69 22 36 65
40 81 2 39 77 7 44 73 6
62 10 51 58 18 47 57 14 52
66 23 34 71 19 33 67 27 29
4 45 74 3 41 79 8 37 78
53 55 15 49 63 11 48 59 16
30 68 25 35 64 24 31 72 20
76 9 38 75 5 43 80 1 42
17 46 60 13 54 56 12 50 61

Известно, что не существует идеальных магических квадратов порядка n = 4k+2 и квадрата порядка n = 4. В то же время существуют идеальные квадраты порядка n = 8. Методом построения составных квадратов можно построить на базе данного квадрата восьмого порядка идеальные квадраты порядка n = 8k, k=5,7,9…и порядка n = 8^p, p=2,3,4… В 2008 г. разработан комбинаторный метод построения идеальных квадратов порядка n = 4k, k = 2, 3, 4,…

Построение магических квадратов

Метод террас

Описан Ю. В. Чебраковым в «Теории магических матриц».

Для заданного нечетного n начертим квадратную таблицу размером n на n. Пристроим к этой таблице со всех четырех сторон террасы (пирамидки). В результате получим ступенчатую симметричную фигуру.

4 5
3 4 10
2 3 9 15
1 2 8 14 20
0 1 7 13 19 25
-1 6 12 18 24
-2 11 17 23
-3 16 22
-4 21
.
4 3 2 1 0 1 2 3 4

Начиная с левой вершины ступенчатой фигуры, заполним её диагональные ряды последовательными натуральными числами от 1 до .

После этого для получения классической матрицы N-го порядка числа, находящиеся в террасах, поставим на те места таблицы размером NxN, в которых они оказались бы, если перемещать их вместе с террасами до того момента, пока основания террас не примкнут к противоположной стороне таблицы.

4
3
2 3 16 9 22 15
1 20 8 21 14 2
0 7 25 13 1 19
-1 24 12 5 18 6
-2 11 4 17 10 23
-3
-4
.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


31692215
20821142
72513119
24125186
114171023

Кроме того, данный способ является верным и в том случае, если магический квадрат нужно составить не из чисел от 1 до N, но и от K до N, где 1 <= K< N.

Прочие способы

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы.[8][9] Найти все магические квадраты порядка удается только для , поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при . Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами (где и меняются от 1 до ) поставить число (Примечание: данная формула верна для всех квадратов нечётного порядка, кроме квадратов вида .

Ещё проще построение выполнить следующим образом. Берётся матрица n x n . Внутри её строится ступенчатый ромб. В нём ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом нечётных чисел. Определяется значение центральной ячейки C. Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка C-1 ; нижняя левая ячейка C+1 ; нижняя правая ячейка C-n; верхняя левая ячейка C+n. Заполнение пустых ячеек в ступенчатых угловых треугольниках ведётся с соблюдением простых правил: 1)по строкам числа слева направо увеличиваются с шагом n + 1; 2) по столбцам сверху вниз числа увеличиваются с шагом n-1.

Также разработаны алгоритмы построения пандиагональных квадратов[10][11] и идеальных магических квадратов 9x9.[12][13] Эти результаты позволяют строить идеальные магические квадраты порядков для .[7][14] Существуют также общие методы компоновки идеальных магических квадратов нечётного порядка .[15][16] Разработаны методы построения идеальных магических квадратов порядка n=8k, k=1,2,3…[17] и совершенных магических квадратов.[18] Пандиагональные и идеальные квадраты четно-нечётного порядка удаётся скомпоновать лишь в том случае, если они нетрадиционные.[19][20][21] Тем не менее, можно находить почти пандиагональные квадраты[22] Найдена особая группа идеально-совершенных магических квадратов (традиционных и нетрадиционных)[23].

Примеры более сложных квадратов

Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности.[24] Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее, что иллюстрируют следующие схемы:

18 24 5 6 12
22 3 9 15 16
1 7 13 19 25
10 1117234
14 20 21 2 8
64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1
100 99 93 7 5 6 4 8 92 91
11 89 88 84 16 15 17 83 82 20
30 22 78 77 75 26 74 73 29 21
61 39 33 67 66 65 64 38 32 40
60 52 48 44 56 55 47 43 49 51
50 42 53 54 46 45 57 58 59 41
31 62 63 37 36 35 34 68 69 70
71 72 28 27 25 76 24 23 79 80
81 19 18 14 85 86 87 13 12 90
10 9 3 94 95 96 97 98 2 1

Существуют несколько десятков других методов построения магических квадратов

Шахматный подход

Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому не случайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек.

Изображение схем построения магических квадратов

См. также

Примечания

  1. 1 2 3 Афанасий Кирхер. Арифмология. — ROMAE: Typographia Varesij, 1665. — С. 64—72. — 317 с.
  2. Посвящённые Юпитеру. Дата обращения: 8 февраля 2011. Архивировано 8 февраля 2011 года.
  3. В. Е. Еремеев «Традиционная наука Китая Архивная копия от 25 февраля 2008 на Wayback Machine», Глава 5: Математика.
  4. Н.Макарова «Магический квадрат Дюрера Архивная копия от 1 июля 2011 на Wayback Machine»
  5. А. К. Дьюдени «Просеивание числового песка в поисках простых чисел Архивная копия от 21 сентября 2008 на Wayback Machine»
  6. Н.Макарова «Совершенные магические квадраты Архивная копия от 28 апреля 2011 на Wayback Machine»
  7. 1 2 Г.Александров «Идеальные магические квадраты порядка , где Архивная копия от 20 ноября 2012 на Wayback Machine»
  8. Магический квадрат. Энциклопедия «Кругосвет». Архивировано 12 января 2002 года.
  9. Н. Макарова «Методы построения магических квадратов (обзорная статья) Архивная копия от 25 апреля 2009 на Wayback Machine»
  10. Г.Александров «Метод построения идеального магического квадрата нечётного порядка Архивная копия от 29 января 2008 на Wayback Machine»
  11. Г.Александров
  12. Г.Александров
  13. Н.Макарова «Магические квадраты девятого порядка Архивная копия от 14 апреля 2011 на Wayback Machine»
  14. Н.Макарова «Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных девяти Архивная копия от 28 апреля 2011 на Wayback Machine»
  15. Г.Александров
  16. Н. Макарова
  17. Н.Макарова «Метод построения идеальных квадратов порядка n = 8k Архивная копия от 27 апреля 2011 на Wayback Machine»
  18. Н. Макарова
  19. Е.Слкуни «Нетрадиционные пандиагональные магические квадраты 6-го порядка Архивная копия от 2 ноября 2007 на Wayback Machine»
  20. Н.Макарова
  21. Г.Александров «Идеальный нетрадиционный магический квадрат порядка n=4k+2 Архивная копия от 20 ноября 2012 на Wayback Machine
  22. Г.Александров »Почти пандиагональные магические квадраты порядка 4k+2 Архивная копия от 20 ноября 2012 на Wayback Machine"
  23. Г.Александров «Идеальный совершенный магический квадрат четного порядка Архивная копия от 20 ноября 2012 на Wayback Machine
  24. http://bspu.ab.ru/~festival/kon2001/teacher/konspect/inform/stepanowa_nowichihina.rtf (недоступная ссылка)

Литература

Ссылки