Марковский момент времени

Марковский момент времени (в теории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса.

Пусть дана последовательность случайных величин ${\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\geq 0}}$. Тогда случайная величина ${\displaystyle \tau }$ называется марковским моментом (времени), если для любого ${\displaystyle n\geq 0}$ событие ${\displaystyle \{\tau \leq n\}}$ зависит только от случайных величин ${\displaystyle Y_{0},\ldots ,Y_{n}}$.

Пусть ${\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\geq 0}}$ — последовательность независимых нормальных случайных величин. Пусть ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$, и

${\displaystyle \tau =\inf\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}}$

— момент первого достижения процессом ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ уровня ${\displaystyle L}$. Тогда ${\displaystyle \tau }$ — марковский момент, ибо ${\displaystyle \tau \leq n}$ тогда и только тогда, когда существует ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,\;0\leq i\leq n}$ такое, что ${\displaystyle Y_{i}\geq L}$. Таким образом событие ${\displaystyle \{\tau \leq n\}}$ зависит лишь от поведения процесса до момента времени ${\displaystyle n}$.

Пусть теперь

${\displaystyle \sigma =\sup\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}}$

— момент последнего достижения процессом ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ уровня ${\displaystyle L}$. Тогда ${\displaystyle \sigma }$ не является марковским моментом, ибо событие ${\displaystyle \{\sigma \leq n\}}$ предполагает знание поведения процесса в будущем.

• Пусть дано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ с фильтрацией ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}$, где ${\displaystyle T\subset [0,\infty )}$. Тогда случайная величина ${\displaystyle \tau }$ принимающая значения в ${\displaystyle T\cup \{\infty \}}$ называется марковским моментом относительно данной фильтрации, если ${\displaystyle \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\quad \forall t\in T}$.

• Если дан процесс ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$, и ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (X_{s}\mid s\leq t)}$ — его естественные σ-алгебры, то говорят, что ${\displaystyle \tau }$ — марковский момент относительно процесса ${\displaystyle \{X_{t}\}}$.

• Марковский момент называется моментом остановки, если он конечен почти наверное, то есть

${\displaystyle \mathbb {P} (\tau <\infty )=1}$.

Если ${\displaystyle \tau }$ и ${\displaystyle \sigma }$ — марковские моменты, то

• ${\displaystyle \tau +\sigma }$ — марковский момент;
• ${\displaystyle \tau \wedge \sigma \equiv \min(\tau ,\sigma )}$ — марковский момент;
• ${\displaystyle \tau \vee \sigma \equiv \max(\tau ,\sigma )}$ — марковский момент.

Замечание: момент остановки может не иметь конечного математического ожидания.

Пусть ${\displaystyle \{W_{t}\}_{t\geq 0}}$ — стандартный винеровский процесс. Пусть ${\displaystyle \alpha >0}$. Определим

${\displaystyle \tau =\inf\{t\geq 0\mid W_{t}\geq \alpha \}}$.

Тогда ${\displaystyle \tau }$ — марковский момент, имеющий распределение, задаваемое плотностью вероятности

${\displaystyle f_{\tau }(t)={\frac {\alpha }{\sqrt {2\pi t^{3}}}}e^{-{\frac {\alpha ^{2}}{2t}}},\quad t\geq 0}$.

В частности ${\displaystyle \tau }$ — момент остановки. Однако,

${\displaystyle \mathbb {E} \tau =\infty }$.