Матрица Лемера

Матрица Лемера — симметричная матрица $L^{n}$ , определяемая для каждого $n>1$ как:

L_{ij}^{n}={\frac {{\mbox{min}}(i,j)}{{\mbox{max}}(i,j)}}

Названа в честь Деррика Лемера.

Каждая из матриц Лемера $L^{n}$ является подматрицей $L^{n+m}$ (то есть $L_{ij}^{n+1}=L_{ij}^{n}$ для всех $i,j\leqslant n$ ). Значения элементов уменьшаются по мере удаления от главной диагонали; поскольку все элементы главной диагонали равны 1, то след $L^{n}$ равен $n$ .

Обратная к матрице Лемера матрица является трёхдиагональной, где наддиагональ и поддиагональ имеют строго отрицательные элементы. Подматрица размерности $n\times n$ обратной к матрице Лемера $L^{n+m}$ совпадает с обратной к матрице $L^{n}$ за исключением элемента с индексом $(n,n)$ .

Матрицы Лемера размеров 2×2, 3×3 и 4×4 и обратные к ним:

{\begin{array}{lllll}A_{2}={\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{pmatrix}}&A_{2}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3\\-2/3&{\color {BrickRed}\mathbf {4/3} }\end{pmatrix}}\\\\A_{3}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3\\1/2&1&2/3\\1/3&2/3&1\end{pmatrix}}&A_{3}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&\\-2/3&32/15&-6/5\\&-6/5&{\color {BrickRed}\mathbf {9/5} }\end{pmatrix}}\\\\A_{4}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3&1/4\\1/2&1&2/3&1/2\\1/3&2/3&1&3/4\\1/4&1/2&3/4&1\end{pmatrix}}&A_{4}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&&\\-2/3&32/15&-6/5&\\&-6/5&108/35&-12/7\\&&-12/7&{\color {BrickRed}\mathbf {16/7} }\end{pmatrix}}\\\end{array}}

Ссылки

M. Newman and J. Todd, The evaluation of matrix inversion programs, Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Volume 6, 1958, pages 466—476.

Похожие исследовательские статьи

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица $\text{[math]}$ размера (порядка) $\text{[math]}$ , элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Те́нзор — применяемый в математике и физике математический объект линейной алгебры, заданный на векторном пространстве конечной размерности. В физике в качестве векторного пространства обычно выступает физическое трёхмерное пространство или четырёхмерное пространство-время, а компонентами тензора являются координаты (проекции) взаимосвязанных физических величин. Использование тензоров в физике позволяет глубже понять физические законы и уравнения, упростить их запись за счёт сведения многих связанных физических величин в один тензор, а также записывать уравнения в форме, не зависящей от выбранной системы отсчёта.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Определи́тель (детермина́нт) в линейной алгебре — скалярная величина, которая характеризует ориентированное «растяжение» или «сжатие» многомерного евклидова пространства после преобразования матрицей; имеет смысл только для квадратных матриц. Стандартные обозначения определителя матрицы $\text{[math]}$ — $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Система линейных алгебраических уравнений</span>

Система линейных алгебраических уравнений — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу $\text{[math]}$ , что $\text{[math]}$ .

Метод Гаусса — Жордана — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана.

Те́нзор эне́ргии-и́мпульса (ТЭИ) — симметричный тензор второго ранга (валентности), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем.

LU-разложение — представление матрицы $\text{[math]}$ в виде произведения двух матриц, $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — нижняя треугольная матрица, а $\text{[math]}$ — верхняя треугольная матрица.

Матрица достижимости простого ориентированного графа $\text{[math]}$ — бинарная матрица замыкания по транзитивности отношения $\text{[math]}$ . Таким образом, в матрице достижимости хранится информация о существовании путей между вершинами орграфа.

Ма́трица перестано́вки — квадратная бинарная матрица, в каждой строке и столбце которой находится ровно один единичный элемент. Каждая матрица перестановки размера $\text{[math]}$ является матричным представлением перестановки из $\text{[math]}$ элементов.

Алгоритм «прямого-обратного» хода — алгоритм для вычисления апостериорных вероятностей последовательности состояний при наличии последовательности наблюдений. Иначе говоря, алгоритм, вычисляющий вероятность специфической последовательности наблюдений. Алгоритм применяется в трёх алгоритмах скрытых Марковских моделей.

Умноже́ние ма́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́нием ма́триц. Элементы новой матрицы получаются из элементов старых матриц в соответствии с правилами, проиллюстрированными ниже.

Матричные популяционные модели — это особый тип популяционных моделей, использующий матричную алгебру. Популяционные модели используются в популяционной экологии для моделирования динамики популяций животных или человека. Матричная алгебра, в свою очередь, является способом записи большого количества повторяющихся и громоздких алгебраических вычислений (итераций).

Бикватернионы — комплексификация (расширение) обычных (вещественных) кватернионов.

Спектральное разложение матрицы или разложение матрицы на основе собственных векторов — это представление квадратной матрицы $\text{[math]}$ в виде произведения трёх матриц $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ — диагональная матрица с соответствующими собственными значениями на главной диагонали, $\text{[math]}$ — матрица, обратная матрице $\text{[math]}$ .

Симплектическая матрица — это матрица M размера 2n×2n с вещественными элементами, которая удовлетворяет условию

Алгоритм Чанки — это алгоритм, позволяющий решать задачу вычисления определителя матрицы в классе NC. Идея алгоритма состоит в том, чтобы свести исходную задачу к решению системы $\text{[math]}$ относительно вектора $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — нижнетреугольная матрица, которую можно обратить за время $\text{[math]}$ с использованием $\text{[math]}$ процессоров.

Обобщённый собственный вектор $\text{[math]}$ матрицы $\text{[math]}$ — вектор, который удовлетворяет определённым критериям, которые слабее, чем критерии для (обычных) собственных векторов.

Поскольку умножение матриц является центральной операцией во многих численных алгоритмах, много усилий было вложено в повышение эффективности алгоритма умножения матриц. Приложения алгоритма умножения матриц в вычислительных задачах найдены во многих областях, включая научные вычисления и распознавания образов, а также во вроде бы не имеющих отношение к матрицам задачах, таких как подсчёт путей через граф. Было разработано много различных алгоритмов для умножения матриц на оборудовании различного типа, включая параллельные и распределённые системы, где вычисления распределены на несколько процессоров.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.