Обычно матрица жёсткости получается разреженной, то есть содержащая большое количество нулей. Для работы с подобным типом матриц созданы специальные библиотеки (mtl4, SparseLib++, SPARSPAK и другие)
— это известные значения функции в узлах, а — некие базисные функции
то
Создание матрицы
Для одного треугольника
Пусть дан один конечный элемент, для простоты — треугольный. Матрица жёсткости, по сути, задаёт связи между узлами. Так как у элемента три узла (в локальной нумерации — 0, 1 и 2), то матрица будет иметь вид
В дальнейшем матрицу для одного треугольника будем называть локальной, для всей сетки сразу - глобальной.
В общем случае, элементы определяются через линейные функции
где
— площадь треугольного элемента.
и получаются из цикличной перестановкой индексов. Удобно искать как определитель матрицы
Сами
В описываемом случае для каждого треугольника составляется такая матрица:
Первый вид обобщения на несколько треугольников
Для того, чтобы сделать из многих раздельных матриц, полученных выше, одну большую матрицу, описывающую отношения между узлами всей области расчёта, необходимо произвести процедуру объединения матриц. Пусть символ обозначает разделённые элементы (рис. а), а символ — объединённые элементы (рис. б).
Обозначим — вектор-строку значений функции в вершинах двух треугольников (см.рис). Символ обозначает транспонирование матрицы То есть, это вектор значений функции в шести узлах треугольников. Очевидно, что при объединении оных получится вектор , содержащий только четыре компоненты.
Преобразование происходит по схеме
Нумерация, конечно же, произвольная: необходимо равенство функции в соответствующих вершинах. Матрицу называют матрицей преобразования, а само уравнение называют связанной системой.
Запишем теперь матрицу жёсткости для двух треугольников:
Результирующая матрица
То есть, на каждом следующем шаге необходимо добавлять новые элементы к уже существующим.
Второй вид обобщения на несколько треугольников
Пусть есть область, представленная и разбитая на треугольники так, как представлено на рисунке. Пусть данная сетка содержит узлов. Создадим глобальную матрицу (размера, очевидно, ) и заполним её нулями. Начнём строить локальные матрицы для треугольников, например, для
Введём локальную нумерацию для данного треугольника: пусть его верхняя вершина имеет локальный номер , далее по часовой стрелке и . Иначе говоря, пусть глобальным номерам соответствуют локальные номера соответственно.
Составим матрицу для этого треугольника так, как описано выше, получив что-то типа
Теперь заменим локальную нумерацию на глобальную. То есть запишем локальное число как глобальное число , - как , - как и так далее.
Получим
С остальными треугольниками поступаем аналогично. Необходимо помнить, что надо "дописать" число в глобальную ячейку, то есть прибавить к уже существующему.
Граничное условие гласит, что функция в узлах на границе равна нулю. Для узла необходимо вычеркнуть -й столбец и -ю строку в матрице , а также вычеркнуть сам узел из массива узлов решётки.
Zienkiewicz, K. Morgan — Finite elements and approximation, 1983.
P.P. Silvester, R.L. Ferrari — Finite elements for electrical engineers, 1986.
E. Suli — Finite Element Methods for Partial Differential Equations, 2011
K.J. Bathe, E.L. Wilson — Numerical methods in finite element analysis, 1982
Похожие исследовательские статьи
Лине́йное отображе́ние — обобщение линейной числовой функции на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные отображения, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.
Уравнение Дира́ка — релятивистски инвариантное уравнение движения для биспинорного классического поля электрона, применимое также для описания других точечных фермионов со спином 1/2; установлено Полем Дираком в 1928 году.
Преобразова́ния Ло́ренца — линейные преобразования векторного псевдоевклидова пространства, сохраняющие длины или, что эквивалентно, скалярное произведение векторов.
Градие́нт — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего роста некоторой скалярной величины .
Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого численно равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой. Векторное произведение коллинеарных векторов считается равным нулевому вектору.
Биномиа́льный коэффицие́нт — коэффициент перед членом разложения бинома Ньютона по степеням . Коэффициент при обозначается или и читается «биномиальный коэффициент из по » :
Поворо́т (враще́ние) — движение плоскости или пространства, при котором по крайней мере одна точка остаётся неподвижной.
Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями . Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.
Ма́трицей поворо́та называется ортогональная матрица, которая используется для выполнения собственного ортогонального преобразования в евклидовом пространстве. При умножении любого вектора на матрицу поворота длина вектора сохраняется. Определитель матрицы поворота равен единице.
Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.
Якобиа́н — определённое обобщение производной функции одной переменной на случай отображений из евклидова пространства в себя.
Криволине́йная систе́ма координа́т, или криволине́йные координа́ты, — система координат в евклидовом (аффинном) пространстве, или в области, содержащейся в нём. Криволинейные координаты не противопоставляются прямолинейным, последние являются частным случаем первых. Применяются обычно на плоскости (n=2) и в пространстве (n=3); число координат равно размерности пространства n. Наиболее известным примером криволинейной системы координат являются полярные координаты на плоскости.
Калибровка камеры — это задача получения внутренних и внешних параметров камеры по имеющимся фотографиям или видео, отснятым ей. Калибровка камеры часто используется на начальном этапе решения многих задач компьютерного зрения и в особенности дополненной реальности. Кроме того, калибровка камеры помогает исправлять дисторсию на фотографиях и видео.
Спектральное разложение матрицы или разложение матрицы на основе собственных векторов — это представление квадратной матрицы в виде произведения трёх матриц , где — матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы , — диагональная матрица с соответствующими собственными значениями на главной диагонали, — матрица, обратная матрице .
Теория изгиба балок Тимошенко была развита Степаном Прокофьевичем Тимошенко в начале XX века. Модель учитывает сдвиговую деформацию и вращательные изгибы, что делает её применимой для описания поведения толстых балок, сэндвич-панелей и высокочастотных колебаний балок, когда длина волны этих колебаний становится сравнимой с толщиной балки. В отличие от модели изгиба балок Эйлера-Бернулли модель Тимошенко приводит к уравнению четвертого порядка, которое также содержит и частные производные второго порядка. Физически учёт механизмов деформации эффективно снижает жёсткость балки и приводит к большему отклонению при статической нагрузке и к предсказанию меньших собственных частот для заданного набора граничных условий. Последнее следствие наиболее заметно для высоких частот, поскольку длина волны колебаний становится короче и расстояние между противоположно направленными сдвиговыми силами уменьшается.
Коприсоединённое представление группы Ли — это представление, сопряжённое к присоединённому. Если — алгебра Ли группы , соответствующее действие на пространстве , сопряжённом к , называется коприсоединённым действием. С геометрической точки зрения оно представляет собой действие левыми сдвигами на пространстве правоинвариантных 1-форм на .
Изгиб пластин в теории упругости относится к расчёту деформаций в пластинах, под действием перпендикулярных к плоскости пластины внешних сил и моментов. Величину отклонения можно определить, решив дифференциальные уравнения соответствующей теории пластин в зависимости от допущений на малость тех или иных параметров. По этим прогибам можно рассчитать напряжения в пластине. При известных напряжениях можно использовать теорию разрушения, чтобы определить, нарушение целостности плиты при данной нагрузке. Деформация пластины является функцией двух координат, поэтому теория пластин формулируется в общем случае в терминах дифференциальных уравнений в двумерном пространстве. Также считается, что пластина изначально имеет плоскую форму.
Теория Кирхгофа — Лява или теория пластин Кирхгофа — Лява — двумерная математическа модель упругого тела, которая используется для определения напряжений и деформаций в тонких пластинах, подверженных действию сил и моментов при малых изгибах. Эта теория является расширением теории балок Эйлера — Бернулли и была разработана в 1888 году Лявом с использованием постулатов, предложенных Кирхгофом. Теория предполагает, что срединная плоскость может использоваться для представления трёхмерной пластины в двухмерной форме.
Нотация анализа — система математических обозначений, применяемая в математическом анализе, при этом различные математические школы применяют различные обозначения для производной функций или переменных. Использование той или иной нотации зависит от контекста, и одно обозначение может оказаться удобнее других в конкретном случае. Наиболее общеупотребительна нотация Лейбница, также широко используются нотации Лагранжа, Эйлера, Ньютона.
Эта страница основана на статье Википедии. Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия. Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.