В линейной алгебре базис векторного пространства размерности
[1] — это последовательность из
векторов
, таких, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов. При заданном базисе операторы представляются в виде квадратных матриц. Так как часто есть необходимость работать с несколькими базисами в одном и том же векторном пространстве, необходимо иметь правило перевода координат векторов и операторов из базиса в базис. Такой переход осуществляется с помощью матрицы перехода, или замены.
Определение
Если векторы
выражаются через векторы
как:
.
.
.
.
то матрица перехода от базиса
к базису
) будет:

Использование
При умножении матрицы, обратной к матрице перехода, на столбец, составленный из коэффициентов разложения вектора по базису
, мы получаем тот же вектор, выраженный через базис
.
Пример
Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:

Матрицы наиболее распространённых преобразований |
---|
| В двумерных координатах | В однородных двумерных координатах | В однородных трёхмерных координатах |
---|
Масштабирование При a, b и c — коэффициенты масштабирования соответственно по осям OX, OY и OZ: | 
| 
| 
|
---|
Поворот При φ — угол поворота изображения в двухмерном пространстве | По часовой стрелке 
| 
| Относительно OX на угол φ 
| Относительно OY на угол ψ 
|
---|
Против часовой стрелки 
| Относительно OZ на угол χ 
|
Перемещение При a, b и c — смещение соответственно по осям OX, OY и OZ. | В неоднородных координатах не имеет матричного представления. | 
| 
|
---|
Свойства
- Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.

Пример поиска матрицы
Найдём матрицу перехода от базиса
к единичному базису
путём элементарных преобразований
следовательно 
См. также
Примечания
- ↑ David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald. Linear Algebra and Its Applications, Global Edition (англ.). — Pearson, 2021. — P. 247. — 755 p.
Ссылки