Матрицы Дирака

Ма́трицы Дира́ка (также известные как га́мма-ма́трицы) — набор матриц, удовлетворяющих особым антикоммутационным соотношениям. Часто используются в релятивистской квантовой механике.

Матрицами Дирака называется любой набор матриц, удовлетворяющих уравнению

${\displaystyle \displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I,}$

где ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ — метрика Минковского сигнатуры ${\displaystyle \left(+---\right),}$ I — единичная матрица, фигурные скобки обозначают антикоммутатор.

Один из возможных способов выбрать матрицы Дирака в четырёхмерном пространстве такой:

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}$

(Дираковское представление; используются также представления Вейля и Майораны).

Полезно определить произведение четырёх гамма-матриц следующим образом:

${\displaystyle \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}$ (в представлении Дирака).

${\displaystyle \gamma ^{5}}$ можно записать в альтернативном виде:

${\displaystyle \gamma ^{5}={\frac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta },}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }}$ — тензор Леви-Чивиты.

Эта матрица полезна при обсуждении хиральности в квантовой механике. Так, дираковское спинорное поле можно спроецировать на его левую или правую компоненту:

${\displaystyle \psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\qquad \psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi }$.

Некоторые свойства ${\displaystyle \gamma ^{5}}$:

• Эрмитовость:

${\displaystyle (\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5}.}$

• Собственные значения равны ±1, поскольку

${\displaystyle (\gamma ^{5})^{2}=I.}$

• Антикоммутирует с четырьмя другими гамма-матрицами:

${\displaystyle \left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0.}$

Матрицы Дирака могут быть компактно записаны как блочные матрицы с использованием матриц Паули σ₁, σ₂, σ₃, дополненных единичной матрицей I. В представлении Дирака:

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{1}\\-\sigma _{1}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\-\sigma _{2}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{3}\\-\sigma _{3}&0\end{bmatrix}}.}$

В представлении Вейля ${\displaystyle \gamma ^{k}}$ остаются теми же, но ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ отличается, поэтому ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ тоже изменена:

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{bmatrix}-I&0\\0&I\end{bmatrix}}.}$

Представление Вейля имеет то преимущество, что в нём хиральные проекции принимают простую форму:

${\displaystyle \psi _{L}={\frac {1}{2}}(1-\gamma ^{5})\psi ={\begin{bmatrix}I&0\\0&0\end{bmatrix}}\psi ,\quad \psi _{R}={\frac {1}{2}}(1+\gamma ^{5})\psi ={\begin{bmatrix}0&0\\0&I\end{bmatrix}}\psi .}$

Существует также представление Майораны, в котором все гамма-матрицы мнимые, а спиноры вещественные:

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}i\sigma _{3}&0\\0&i\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&-\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}-i\sigma _{1}&0\\0&-i\sigma _{1}\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{bmatrix}\sigma _{2}&0\\0&-\sigma _{2}\end{bmatrix}}.}$

В современной науке основным является определяющее свойство гамма-матриц, а не их числовое представление.

№	Тождество
1	${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I}$
2	${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }}$
3	${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I}$
4	${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }}$
5	${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\lambda }+\eta ^{\nu \lambda }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \lambda }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \lambda }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}}$

№	Тождество
0	${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu })=0}$
1	Любое произведение нечётного числа ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ имеет нулевой след.
2	${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu }}$
3	${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=4(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho })}$
4	${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{5})=\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5})=0}$
5	${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5})=4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }}$

Также для матриц Дирака выполняются тождества Фирца.

Определение гамма-матриц обобщается на пространства других размерностей, где их количество может отличаться.

• Уравнение Дирака
• Кватернионы
• Тождества Фирца

• Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — 632 с.
• Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск: РХД, 2002. — 784 с.
• W. Pauli. Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac (фр.) // Ann. Inst. Henri Poincaré^[англ.] : magazine. — 1936. — Vol. 6. — P. 109.