Ма́трицы Дира́ка (также известные как га́мма-ма́трицы) — набор матриц, удовлетворяющих особым антикоммутационным соотношениям. Часто используются в релятивистской квантовой механике.
Определение
Матрицами Дирака называется любой набор матриц, удовлетворяющих уравнению

где
— метрика Минковского сигнатуры
I — единичная матрица, фигурные скобки обозначают антикоммутатор.
Один из возможных способов выбрать матрицы Дирака в четырёхмерном пространстве такой:

(Дираковское представление; используются также представления Вейля и Майораны).
Пятая гамма-матрица, γ⁵
Полезно определить произведение четырёх гамма-матриц следующим образом:
(в представлении Дирака).
можно записать в альтернативном виде:

где
— тензор Леви-Чивиты.
Эта матрица полезна при обсуждении хиральности в квантовой механике. Так, дираковское спинорное поле можно спроецировать на его левую или правую компоненту:
.
Некоторые свойства
:

- Собственные значения равны ±1, поскольку

- Антикоммутирует с четырьмя другими гамма-матрицами:

Блочная структура
Матрицы Дирака могут быть компактно записаны как блочные матрицы с использованием матриц Паули σ1, σ2, σ3, дополненных единичной матрицей I. В представлении Дирака:

В представлении Вейля
остаются теми же, но
отличается, поэтому
тоже изменена:

Представление Вейля имеет то преимущество, что в нём хиральные проекции принимают простую форму:

Существует также представление Майораны, в котором все гамма-матрицы мнимые, а спиноры вещественные:


В современной науке основным является определяющее свойство гамма-матриц, а не их числовое представление.
Тождества
№ | Тождество |
---|
1 |  |
2 |  |
3 |  |
4 |  |
5 |  |
№ | Тождество |
---|
0 |  |
1 | Любое произведение нечётного числа имеет нулевой след. |
2 |  |
3 |  |
4 |  |
5 |  |
Также для матриц Дирака выполняются тождества Фирца.
Определение гамма-матриц обобщается на пространства других размерностей, где их количество может отличаться.
См. также
Литература