Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.
Описание метода
Пусть уравнение
-й степени имеет вид
. | (1) |
Если
— произвольный корень кубического уравнения
 | (2) |
(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.
Представим уравнение четвёртой степени в виде:

Его решение может быть найдено из следующих выражений:



- если
, тогда, решив
и, сделав подстановку
, найдём корни:
.


, (любой знак квадратного корня подойдёт)
, (три комплексных корня, один из которых подойдёт)![{\displaystyle y=-{5 \over 6}\alpha +U+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0&\to {-P \over 3U}\end{cases}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a927ab16077f14191a5374f7d7be272e389e7d1)


- Здесь
и
— два независимых параметра, каждый из которых равен либо
, либо
. Количество возможных пар их значений равно четырём, и каждая пара производит один из четырёх корней изначального уравнения четвёртой степени. В случае, если какой-то из корней является кратным, количество дающих его пар значений
и
равно степени его кратности. В зависимости от выбора
(при взятии кубического корня возникает неоднозначность) корни будут соответствовать парам в разном порядке.
Вывод
Пусть имеется уравнение канонического вида:

Обозначим корни уравнения как
. Для корней уравнения в канонической форме будет выполняться соотношение

Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это


Причём
,
— действительные числа. Тогда два других корня можно записать как


Здесь
может быть либо действительным, либо чисто мнимым числом. Выразим a через корни уравнения


Выразим К через остальные коэффициенты:


или

Итого



Или 
Отсюда 
Заменяя
, получаем резольвенту, решив которую, находим W
История
С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».
См. также
Ссылки