Метод Фурье — Моцкина

Метод Фурье — Моцкина используются для исследования существования решений системы линейных неравенств.

Такая система задаёт выпуклый многогранник, поэтому метод используется в выпуклой геометрии, а также в теории линейного программирования.

Впервые метод исключения переменных описал Фурье в 1827 году, в 1936 году его переоткрыл американо-израильский математик Моцкин^[англ.].

Пример

Пусть задана система неравенств с тремя переменными:

{\begin{cases}2x-5y+4z\leqslant 10\\3x-6y+3z\leqslant 9\\-x+5y-2z\leqslant -7\\-3x+2y+6z\leqslant 12\\\end{cases}}

Для исключения переменной $x$ , все неравенства можно записать через эту перменную:

{\begin{cases}x\leqslant {\frac {10+5y-4z}{2}}\\x\leqslant {\frac {9+6y-3z}{3}}\\x\geqslant 7+5y-2z\\x\geqslant {\frac {-12+2y+6z}{3}}\\\end{cases}}

Соответственно правая сторона каждого неравенства со знаком $\leqslant$ должна быть не меньшей, чем правая сторона неравенства со знаком $\geqslant$ . Получаются 4 неравенства от 2 переменных:

{\begin{cases}7+5y-2z\leqslant {\frac {10+5y-4z}{2}}\\7+5y-2z\leqslant {\frac {9+6y-3z}{3}}\\{\frac {-12+2y+6z}{3}}\leqslant {\frac {10+5y-4z}{2}}\\{\frac {-12+2y+6z}{3}}\leqslant {\frac {9+6y-3z}{3}}\\\end{cases}}

Похожие исследовательские статьи

В математике, целая часть вещественного числа $\text{[math]}$ — округление $\text{[math]}$ до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье, или пол. Наряду с полом существует парная функция — потолок — округление $\text{[math]}$ до ближайшего целого в большую сторону.

При́знак дели́мости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному. Если признак делимости позволяет выяснить не только делимость числа на заранее заданное, но и остаток от деления, то его называют признаком равноостаточности.

Корреля́ция, или корреляцио́нная зави́симость — статистическая взаимосвязь двух или более случайных величин, при этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин.

Абсолю́тная величина́, или мо́дуль, числа $\text{[math]}$ — неотрицательное число, которое, неформально говоря, обозначает расстояние между началом координат и $\text{[math]}$ . Обозначается: $\text{[math]}$

Неявное уравнение — это отношение вида $\text{[math]}$ , где R является функцией нескольких переменных. Например, неявным уравнением единичной окружности является $\text{[math]}$ .

Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа с помощью одного из перечисленных ниже знаков.

Параболические координаты — ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.

Ме́тод Крамера — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы.

Ма́тричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты, которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

арксинус
арккосинус
арктангенс
арккотангенс
арксеканс
арккосеканс

Уравнение (неравенство) с параметрами — математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Правило дифференцирования сложной функции позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.

Теорема Ферма — Эйлера гласит:

В математике функция Доусона, или интеграл Доусона — неэлементарная функция действительного переменного:

\text{[math]}

Метод Стронгина — метод решения одномерных задач условной липшицевой оптимизации. Позволяет находить глобально оптимальное решение в задачах с ограничениями неравенствами при условии, что целевая функция задачи и левые части неравенств удовлетворяют условию Липшица в области поиска.

Иррациональное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня $\text{[math]}$ или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу. Простейшим примером иррационального уравнения является уравнение $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . Иногда корни могут обозначать в виде рациональных степеней неизвестной, то есть вместо $\text{[math]}$ пишут $\text{[math]}$ .

Двойственная задача для заданной задачи линейного программирования — это другая задача линейного программирования, которая получается из исходной (прямой) задачи следующим образом:

Каждая переменная в прямой задаче становится ограничением двойственной задачи;
Каждое ограничение в прямой задаче становится переменной в двойственной задаче;
Направление цели обращается – максимум в прямой задаче становится минимумом в двойственной, и наоборот.

Движение Уи́лла-Кло́хесси-Уи́лтшира — движение тела в задаче двух тел по орбите, близкой к круговой. Является линеаризацией динамической системы тела в орбитальной системе координат (ОСК). Радиус-вектор тела относительно движения точки по невозмущённой круговой орбите имеет вид:

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.