Метод бесконечного спуска

Метод бесконечного спуска — метод доказательства от противного, основанный на том, что множество натуральных чисел вполне упорядочено. Существенно развит Пьером Ферма.

Часто используется для доказательства того, что у некоторого уравнения нет решений по следующей схеме: из предположения, что решение существует, доказывается существование другого решения, которое в некотором смысле меньше, тогда можно построить бесконечную цепочку решений, каждое из которых меньше предыдущего, это вызывает противоречие с тем, что в любом непустом подмножестве натуральных чисел есть минимальный элемент, значит предположение о существовании начального решения неверно.

Для доказательства иррациональности ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ с использованием метода бесконечного спуска оно предполагается рациональным числом:

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}}$

для некоторых натуральных чисел ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$. Тогда квадрат этого числа равен:

${\displaystyle 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}}$,

то есть ${\displaystyle 2q^{2}=p^{2}}$. Это означает, что ${\displaystyle p}$ — чётное число. Для ${\displaystyle p=2r}$: ${\displaystyle p^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}}$, при подстановке ${\displaystyle 4r^{2}}$ вместо ${\displaystyle p^{2}}$: ${\displaystyle 2q^{2}=4r^{2}}$. Деление на 2 обеих частей даёт: ${\displaystyle q^{2}=2r^{2}}$, значит, ${\displaystyle q}$ — также чётное число. Таким образом, исходные числа ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ можно одновременно разделить на 2 и получить другое представление ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. С полученными числами можно проделать ту же операцию, и так далее бесконечное число раз. Таким образом строится бесконечно убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно. То есть, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ не является рациональным числом.

• Л. Курляндчик, Г. Розенблюм. Метод бесконечного спуска // Квант. — 1978. — № 1. — С. 24—27.