Метод гиперболы Дирихле

Метод гиперболы Дирихле — используемая в теории чисел техника вычисления суммы вида:

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}f(n)}$,

где ${\displaystyle f}$ — мультипликативная функция.

Названа в связи с использованием свёртки Дирихле — применяется для функции ${\displaystyle f}$, представленной как свёртка ${\displaystyle f=g*h}$ пары мультипликативных арифметических функций ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}f(n)=\sum _{n\leqslant x}\sum _{ab=n}g(a)h(b)=\sum _{a\leqslant {\sqrt {x}}}\sum _{b\leqslant {\frac {x}{a}}}g(a)h(b)+\sum _{b\leqslant {\sqrt {x}}}\sum _{a\leqslant {\frac {x}{b}}}g(a)h(b)-\sum _{a\leqslant {\sqrt {x}}}\sum _{b\leqslant {\sqrt {x}}}g(a)h(b)}$.

Например, для функции числа делителей ${\displaystyle \tau =1*1}$^[1][2]:

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}\tau (n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})}$,

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера — Маскерони.