Метод парных точек

Метод парных точек — метод обработки экспериментальных данных, созданный для оценивания значения углового коэффициента зависимости и определения его погрешности. Из экспериментальных точек на графике берутся те, которые находятся друг от друга примерно на одинаковом расстоянии (это расстояние должно быть максимально возможным).

Определение параметров линейной зависимости из графика

После снятия параметров, строится график зависимости. По получившимся точкам проводится прямая «на глаз», так, чтобы примерное одинаковое количество точек одинаково и на приблизительно равном расстоянии располагалось по обе стороны этой прямой — таким образом усредняются значения.

Выбирается пара точек с координатами x₁, y₁, x₂, y₂, для получения уравнений с неизвестными a и b:

y₁=ax₁+b,
y₂=ax₂+b,

из которых находят:

$a={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}},\quad b={\frac {y_{2}x_{1}-y_{1}x_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$

Оценка погрешностей для этих параметров:

$\Delta a={\bigg |}{\frac {a_{1}-a_{2}}{2}}{\bigg |},$ $\quad$ $\Delta b={\bigg |}{\frac {b_{1}-b_{2}}{2}}{\bigg |}$ Данные значения принимают за результат измерения искомого параметра зависимости.

Пример

Пример обработки экспериментальных данных. Найдем угловой коэффициент прямой зависимости удельного сопротивления металла (платины) от температуры. Значения сопротивления и температуры приведены в таблице.

№ пары	T, K	ρ, Ом*м	ΔT	Δρ*10⁻⁶	a_i= ${\frac {\Delta \rho }{\Delta T}}$ *10⁻¹⁰	a_i-<a>*10⁻¹⁰	(a_i-<a>)²*10⁻²⁰
1 8	302 337	0,099 0,125	35	0,024	6,86	-2,94	8,64
2 9	307 342	0,113 0,126	35	0,013	3,71	0,21	0,0441
3 10	312 347	0,115 0,126	35	0,011	3,14	0,78	0,608
4 11	317 352	0,118 0,128	35	0,01	2,85	1,07	1,14
5 12	322 357	0,118 0,131	35	0,013	3,71	0,21	0,04
6 13	327 362	0,12 0,131	35	0,011	3,14	0,78	0,608
7 14	332 367	0,112 0,134	35	0,014	4	-0,08	0,0064

Где $<a>={\frac {\sum (a_{i})}{7}}=3,92*10$ ⁻¹⁰, а $\sum (a-<a>)^{2}=11,09*10$ ⁻²⁰

Дисперсия равна

σ_<a>= ${\sqrt {\frac {\sum (a-<a>)^{2}}{n(n-1)}}}=0,51*10$ ⁻¹⁰.

Для n=7 и доверительной вероятности α=0,98 коэффициент Стьюдента t(0,98;7)=2,4. Погрешность Δa=2,4*0,51*10⁻¹⁰= 1,23*10⁻¹⁰ Окончательный результат a=(3,92 $\pm$ 1,23)*10⁻¹⁰

Литература

Обработка экспериментальных данных/Б. Д. Агапьев, В. Н. Белов, Ф. П. Кесаманлы, В. В. Козловский, С. И. Марков: Учебное пособие. 2000. 84с.

Похожие исследовательские статьи

Корреля́ция, или корреляцио́нная зави́симость — статистическая взаимосвязь двух или более случайных величин, при этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин.

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

\text{[math]}

Численное интегрирование — вычисление значения определённого интеграла. Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом

\text{[math]}

Метод наименьших квадратов (МНК) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений, для поиска решения в случае обычных нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.

Погре́шность измере́ния — отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения. Погрешность измерения является характеристикой точности измерения.

Усло́вная вероя́тность — вероятность наступления события $\text{[math]}$ при условии, что событие $\text{[math]}$ произошло. Вероятность события $\text{[math]}$ , вычисленную в предположении, что о результате эксперимента уже что-то известно, мы будем обозначать через $\text{[math]}$ . Например, вероятность того, что у какого-то человека будет кашель в произвольный день, $\text{[math]}$ . Но если мы знаем или предполагаем, что у человека простуда, тогда у него гораздо больше шансов начать кашлять. Таким образом, условная вероятность кашля у любого человека при условии, что он простужен, выше $\text{[math]}$ .

Дифференциа́льное уравне́ние в ча́стных произво́дных — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Ме́тоды Ру́нге — Ку́тты — большой класс численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Первые методы данного класса были предложены около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

Несмещённая оце́нка в математической статистике — это точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру.

Формула Симпсона относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710—1761).

Алгебраическая кривая, или плоская алгебраическая кривая, — это геометрическое место (множество) точек на плоскости (O;x,y), которое определяется как множество нулей многочлена от двух переменных. Степенью (или порядком) n этой кривой называется степень этого многочлена. Алгебраические кривые степеней n = 1, 2, 3, …, 8 кратко называются прямыми, кониками, кубиками, квартиками, пентиками, секстиками, септиками, октиками соответственно. Например, единичная окружность — это алгебраическая кривая степени 2 (коника), так как она задаётся уравнением x² + y² − 1 = 0.

Регрессио́нный анализ — набор статистических методов исследования влияния одной или нескольких независимых переменных $\text{[math]}$ на зависимую переменную $\text{[math]}$ . Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными или регрессантами. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных, а не причинно-следственные отношения. Наиболее распространённый вид регрессионного анализа — линейная регрессия, когда находят линейную функцию, которая, согласно определённым математическим критериям, наиболее соответствует данным. Например, в методе наименьших квадратов вычисляется прямая, сумма квадратов между которой и данными минимальна.

Регре́ссия (лат. regressio — обратное движение, отход) в теории вероятностей и математической статистике — односторонняя стохастическая зависимость, устанавливающая соответствие между случайными переменными, то есть математическое выражение, отражающее связь между зависимой переменной у и независимыми переменными х при условии, что это выражение будет иметь статистическую значимость. В отличие от чисто функциональной зависимости y=f(x), когда каждому значению независимой переменной x соответствует одно определённое значение величины y, при регрессионной связи одному и тому же значению x могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины y. Если при каждом значении $\text{[math]}$ наблюдается $\text{[math]}$ значений y_i1…y_{in_i} величины y, то зависимость средних арифметических $\text{[math]}$ от $\text{[math]}$ и является регрессией в статистическом понимании этого термина.

Длинная арифметика — выполняемые с помощью вычислительной машины арифметические операции над числами, разрядность которых превышает длину машинного слова данной вычислительной машины. Эти операции реализуются не аппаратно, а программно, с использованием базовых аппаратных средств работы с числами меньших порядков. Частный случай — арифметика произвольной точности — относится к арифметике, в которой длина чисел ограничена только объёмом доступной памяти.

Метод Гаусса — метод численного интегрирования, позволяющий повысить алгебраический порядок точности методов на основе интерполяционных формул путём специального выбора узлов интегрирования без увеличения числа используемых значений подынтегральной функции. Метод Гаусса позволяет достичь максимальной для данного числа узлов интегрирования алгебраической точности.

Уравне́ние Сте́йнхарта — Ха́рта — математическая модель, описывающая сопротивление полупроводниковых терморезисторов с отрицательным температурным коэффициентом электрического сопротивления в зависимости от температуры.

В евклидовой геометрии пересечение двух прямых может быть пустым множеством, точкой или прямой. Различение этих случаев и поиск точки пересечения используется, например, в компьютерной графике, при планировании движения и для обнаружения столкновений.

Алгоритм Лианга — Барски — алгоритм, используемый в компьютерной графике для отсечения отрезков в некоторой прямоугольной области. Был разработан Лян Юдуном и Брайаном Барски в 1984 году и усовершенствован в 1992 году.

<span class="mw-page-title-main">Пересечение (евклидова геометрия)</span> в евклидовой геометрии

Пересечение в евклидовой геометрии — точка или кривая, общие для двух или более объектов. Простейший случай — пересечение двух различных прямых на плоскости, которое либо является одной точкой, либо не существует, если прямые параллельные.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.