Минимизирующая последовательность

Минимизирующая последовательность — конструкция, используемая в вариационном исчислении и математической оптимизации для задачи нахождения минимального значения функции (функционала) и задачи отыскания элемента, на котором функция принимает минимальное значение.

Формально, последовательность ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ (${\displaystyle x_{i}\in M}$) для непрерывной функции ${\displaystyle f}$, определённой на множестве ${\displaystyle M}$, называется минимизирующей, если последовательность значений ${\displaystyle \{f(x_{i})\}}$ стремится к точной нижней грани значений данной функции на ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f(x_{n})=\inf _{x\in M}f(x)}$.

Минимизирующие последовательности не обязательно сходятся к элементу ${\displaystyle x^{\star }}$, в котором достигается минимум ${\displaystyle \inf f(x)=f(x^{\star })}$, то есть ${\displaystyle lim_{i\to \infty }{x_{i}}\neq x^{\star }}$ в общем случае. Если же всякая минимизирующая последовательность сходится к элементу ${\displaystyle x^{\star }}$, то задача минимизации функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle M}$ называется устойчивой. Методы решения устойчивых задач минимизации с использованием минимизирующих последовательностей подразделяются на три класса: прямые (не используют производные функции), методы спуска (использующие первые производные, например, метод градиентного спуска), и алгоритмы с использованием производных высших порядков.

Для решения неустойчивых задач минимизации для построения минимизирующих последовательностей используются методы регуляризации.

• Прямой вариационный метод (англ. direct method in the calculus of variations)

• Минимизирующая последовательность — статья из Математической энциклопедии. Ю. В. Ракитский