Многочлены Кравчука |
---|
|
Формула |  |
---|
Скалярное произведение | . |
---|
Область определения |  |
---|
|
Названы в честь | Кравчук, Михаил Филиппович |
---|
Многочлены Кравчука (М. Ф. Кравчук, 1929) относятся к классическим ортогональным полиномам дискретной переменной на равномерной сетке, для которых соотношение ортогональности представляет собой не интеграл, а ряд или конечную сумму:
.
Здесь
— весовая функция,
— квадратичная норма,
. Для
весовая функция с точностью до постоянного множителя
сводится к биномиальному коэффициенту.
Рекуррентное соотношение для этих многочленов имеет вид
.
Путём несложных преобразований его можно привести к форме
,
где

Многочлены Кравчука могут быть выражены через гипергеометрическую функцию Гаусса:

В пределе при
многочлены Кравчука переходят в многочлены Эрмита:

Первые четыре полинома для простейшего случая
:




Литература
- Sur une généralisation des polynomes d’Hermite. M. Krawtchouk. C.R.Acad. Sci. 1929. T.189, No.17. P.620 — 622 — статья, в которой впервые введены многочлены Кравчука; по ссылке доступны французский оригинал и переводы на английский и русский языки.
- А. Ф. Никифоров, С. К. Суслов, В. Б. Уваров. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. Москва, «Наука», 1985.
- Krawtchouk Polynomials Home Page — сайт, посвященный многочленам Кравчука, содержит, в частности, обширную библиографию.
См. также