Многочлен Чебышёва первого рода характеризуется как многочлен степени со старшим коэффициентом , который меньше всего отклоняется от нуля на отрезке . Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.
Многочлены Чебышёва второго рода
Многочлен Чебышёва второго рода характеризуется как многочлен степени со старшим коэффициентом , интеграл от абсолютной величины которого по отрезку принимает наименьшее возможное значение. Впервые рассмотрены в совместной работе двух учеников Чебышёва — Коркина и Золотарёва.
в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:
Из последнего тождества также следуют явные формулы:
Скалярное произведение
Соотношения
то есть многочлены Чебышёва первого рода, с правилом умножения , образуют полугруппу, изоморфную мультипликативной полугруппе целых неотрицательных чисел.
Тригонометрическое определение
Многочлены Чебышёва первого рода могут быть также определены с помощью равенства
или, что почти эквивалентно,
Такое определение также даёт альтернативный способ выразить многочлен в явном виде через формулу Эйлера. Если возвести обе части в степень , получится
Раскрывая скобки в выражении справа, можно сгруппировать действительную часть выражения, чтоб выразить через . При этом стоит иметь в виду, что и , из чего следует, что
Отсюда следует явная формула
Многочлены Чебышёва второго рода могут быть также определены с помощью равенства
Примеры
Несколько первых многочленов Чебышёва первого рода
Несколько первых многочленов Чебышёва второго рода
Свойства
Многочлены Чебышёва обладают следующими свойствами:
Многочлены чётных степеней являются чётными функциями, нечётных — нечётными функциями.
Сумма коэффициентов многочленов Чебышёва первого рода равняется 1, а коэффициентов многочленов второго рода равняется .
Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом для многочленов первого рода и для многочленов второго рода).
Среди всех многочленов, значения которых на отрезке не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышёва имеет:
наибольший старший коэффициент,
наибольшее значение в любой точке за пределами ,
если , то , где — коэффициент многочлена Чебышёва первого рода, — коэффициент любого из рассматриваемых многочленов.
Нули многочленов Чебышёва являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах. Например, в методе дискретных особенностей, который часто используется при исследовании интегральных уравнений в электродинамике и аэродинамике.
На концах и середине отрезка выполняются следующие соотношения:
Многочлен Чебышёва первого рода степени N является частным случаем фигур Лиссажу при соотношении частот, равном N и амплитуде обоих сигналов, равной 1.
Многочлены Чебышёва первого и второго рода соответствуют паре последовательностей Люка и с параметрами :
Многочлен Чебышёва первого рода степени имеет наибольшую длину дуги на отрезке в классе всех многочленов степени не выше таких, что максимум их модуля на этом отрезке не превышает и не равных тождественно константе[1]
Применения
Теория приближений
Многочлены Чебышёва первого рода используются для приближения функцией (рядом Чебышёва), если другие способы вычисления функции трудоёмкие или её аналитическая форма записи неизвестна (например, если функция задана таблицей, составленной на основе экспериментальных данных). Для этого область определения приближаемой функции должна быть достаточно простым способом, например, линейно, отображена в интервал ортогональности аппроксимирующих многочленов, в данном случае это . Например, для таблично заданной функции:
где — линейное отображение, — область определения точек.
Аппроксимация непрерывно заданных функций получается в результате отбрасывания членов ряда Чебышёва, величина которых меньше желаемой погрешности результата. Аппроксимирующая функция также может быть записана в виде многочлена от . В отличие от приближений, получаемых при использовании других степенных рядов, данное приближение минимизирует количество слагаемых, необходимых для аппроксимации функции многочленом с заданной точностью. С этим связано также и то свойство, что приближение на основе ряда Чебышёва оказывается довольно близко к наилучшему равномерному приближению (среди многочленов той же степени), но проще находится.
Примером отображения , отображающего заданный интервал в область ортогональности многочленов,
может быть функция
Расчёт антенных решёток
Многочлены Чебышёва применяются для расчёта антенной решётки. Мощность излучения каждой антенны рассчитывается при помощи многочленов Чебышёва. Это позволяет управлять формой диаграммы направленности, а точнее соотношением амплитуды основного и боковых лепестков.
Применение в теории фильтрации
Полиномы Чебышёва также используются при теоретическом построении фильтров. В общую формулу для амплитудно-частотной характеристики
в качестве подставляют выражение вида или , где — показатель пульсаций, получая соответственно АЧХ фильтров Чебышева I или II рода порядка .
Вариации и обобщения
Вопрос о многочленах минимальной нормы с фиксированными коэффициентами при двух старших степенях был рассмотрен позднее Золотарёвым, найденные им полиномы носят название многочлены Золотарёва.
↑Бакан А. Об одном экстремальном свойстве многочленов Чебышева // Математика сегодня. Научный сборник / Под ред. проф. А. Я. Дороговцева. — Киев: Вища школа, 1982. — С. 167—172.
Давление электромагнитного излучения, давление света — давление, которое оказывает световое излучение, падающее на поверхность тела.
Гармони́ческий осцилля́тор — система, которая при выведении её из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x:
,
Фильтр Чебышёва — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания и подавления, чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышёва, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышёва.
Фо́рмула Брахмагу́пты — обобщение формулы Герона, выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.
Эллиптические функции Якоби — это набор основных эллиптических функций комплексного переменного и вспомогательных тета-функций, которые имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам. Они также имеют полезные аналогии с тригонометрическими функциями, как показывает соответствующее обозначение для . Они не дают самый простой способ развить общую теорию, как замечено недавно: это может быть сделано на основе эллиптических функций Вейерштрасса. Эллиптические функции Якоби имеют в основном параллелограмме по два простых полюса и два простых нуля.
Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке в пространстве . Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.
Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:
,
Изгиб — в сопротивлении материалов вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев, изменение кривизны/искривление срединной поверхности пластины или оболочки. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса или оболочки изгибающих моментов. Прямой изгиб балки возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, изгиб называется косым.
Точное нахождение первообразной произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной. Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.
Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией. Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.
Многочле́ны Эрми́та — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.
Парадо́кс Кле́йна в графе́не — прохождение любых потенциальных барьеров без обратного рассеяния под прямым углом. Эффект связан с тем, что спектр носителей тока в графене линейный и квазичастицы подчиняются уравнению Дирака для графена. Эффект предсказан теоретически в 2006 году для прямоугольного барьера.
Реше́ние Ке́рра — Нью́мена — точное решение уравнений Эйнштейна, описывающее невозмущённую электрически заряженную вращающуюся чёрную дыру без космологического члена. Астрофизическая значимость решения неясна, так как предполагается, что встречающиеся в природе коллапсары не могут быть существенно электрически заряжены.
В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов
,
Р-волны — упругие продольные волны, вызывающие колебания элементарных частиц упругой среды в направлении распространения волны и создающие в среде объёмные деформации сжатия—растяжения(Рисунок 1). Самые быстрые среди объёмных волн, поэтому получили название «P-волны» от латинского «prima» — первичные. Способны распространятся в твердых телах, жидкостях и газах.
-матрица Вигнера представляет собой матрицу неприводимого представления групп SU (2) и SO (3). Комплексное сопряжение -матрицы является собственной функцией гамильтониана сферических и симметричных жёстких ротаторов. Матрица была введена в 1927 году Юджином Вигнером.
Обобщённые координаты — переменные состояния системы, описывающие конфигурацию динамической системы относительно некоторой эталонной конфигурации в аналитической механике, а конкретно исследовании динамики твёрдых тел в системе многих тел. Эти переменные должны однозначно определять конфигурацию системы относительно эталонной конфигурации. Обобщённые скорости — производные по времени обобщённых координат системы.
Тета-функции — это специальные функции от нескольких комплексных переменных. Они играют важную роль во многих областях, включая теории абелевых многообразий, пространства модулей и квадратичных форм. Они применяются также в теории солитонов. После обобщения к алгебре Грассмана функции появляются также в квантовой теории поля.
Casus irreducibilis — это случай, который может возникнуть при решении кубического уравнения с целыми коэффициентами, когда корни выражаются радикалами. А именно, если кубический многочлен является неприводимым над рациональными числами и имеет три вещественных корня, то для выражения корней через радикалы нужно вводить комплексно-значные выражения, даже если результирующие значения выражений вещественны. Это было доказано Пьером Ванцелем в 1843.
Векторными сферическими гармониками являются векторные функции, преобразующиеся при вращениях системы координат так же, как скалярные сферические функции с теми же индексами, или определенные линейные комбинации таких функций.
Эта страница основана на статье Википедии. Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия. Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.