Графики многочленов Эрмита порядка (вероятностное определение)
В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:
;
в физике обычно используется другое определение:
.
Два определения, приведённые выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является «отмасштабированной» версией другого
.
Явные выражения для первых одиннадцати (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):
.
Аналогичным образом определяются первые одиннадцать (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита в физическом определении:
Общее уравнение для многочленов Эрмита имеет вид:
Свойства
Многочлен содержит члены только той же чётности, что и само число :
Многочлен чётен при чётном и нечётен при нечётном :
.
При верны такие соотношения:
, (в вероятностном определении)
. (в физическом определении)
Уравнение имеет вещественных корней, попарно симметричных относительно начала системы координат, и модуль каждого из них не превосходит величины . Корни многочлена чередуются с корнями многочлена .
Многочлен можно представить в виде определителя матрицы :
Формула сложения
Имеет место следующая формула сложения для многочленов Эрмита:
Легко видеть, что следующие формулы являются её частными случаями:
, . Тогда
.
, , . Тогда
.
Дифференцирование и рекуррентные соотношения
Производная-го порядка от многочлена Эрмита , также есть многочлен Эрмита (для физического определения): Отсюда получается соотношение для первой производной (для физического определения) и рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами: Для физического определения рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
Ортогональность
Многочлены Эрмита образуют полную ортогональную систему на интервале с весом или в зависимости от определения:
Важным следствием ортогональности многочленов Эрмита является возможность разложения разных функций в ряды по многочленам Эрмита. Для любого неотрицательного целого справедлива запись
Из этого выплывает связь между коэффициентами разложения функции в ряд Маклорена и коэффициентами разложения этой же функции по многочленам Эрмита, ,которые называются отношениями Нильса Нильсона:
Например, разложение функции Куммера будет иметь такой вид:
Многочлены Эрмита являются решениями линейного дифференциального уравнения:
Если является целым числом, то общее решение вышеприведённого уравнения записывается как
,
где — произвольные постоянные, а функции называются функциями Эрмита второго рода. Эти функции не приводятся к многочленам и их можно выразить только с помощью трансцендентных функций и .
Представления
Многочлены Эрмита предполагают такие представления:
где — контур, который охватывает начало координат.
Решениями этого уравнения являются собственные функции осциллятора, которые отвечают собственным значениям . Нормированные на единицу, они записываются как
.
В данном выражении используются именно «физические» многочлены Эрмита .
Многочлены Эрмита используются в решении одномерного уравнения теплопроводности на бесконечном интервале. Это уравнение имеет решение в виде экспоненциальной функции . Поскольку такую функцию можно представить в виде разложения по многочленам Эрмита, а с другой стороны она может быть разложена в ряд Тейлора по :
,
то функции , которые являются решением уравнения теплопроводности и удовлетворяют начальному условию , выражаются через многочлены Эрмита следующим образом:
.
Для получения последнего равенства был использован интеграл Пуассона — Фурье.
В лазерной физике, а точнее — в теории открытых (оптических) резонаторов, многочлены Эрмита входят в выражение, описывающее распределение амплитуды в поперечном сечении соответствующей поперечной моды Эрмита — Гаусса (собственно, произведение одного из многочленов Эрмита и функции Гаусса), характерной для оптических резонаторов с прямоугольной формой зеркал резонатора.
Многочле́ны Чебышёва — две последовательности ортогональных многочленов и названные в честь Пафнутия Львовича Чебышёва:
Многочлен Чебышёва первого рода характеризуется как многочлен степени со старшим коэффициентом , который меньше всего отклоняется от нуля на отрезке . Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.
Норма́льное распределе́ние, также называемое распределением Гаусса или Гаусса — Лапласа — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:
,
где параметр — математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр — среднеквадратическое отклонение, — дисперсия распределения.
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.
Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:
Рекуррентная формула — формула вида , выражающая каждый член последовательности через предыдущих членов и номер члена последовательности .
Целая функция — функция, регулярная во всей комплексной плоскости. Типичным примером целой функции может служить многочлен или экспонента, а также суммы, произведения и суперпозиции этих функций. Ряд Тейлора целой функции сходится во всей плоскости комплексного переменного. Логарифм, квадратный корень не являются целыми функциями.
В алгебре корень Бринга или ультрарадикал — это аналитическая функция , задающая единственный действительный корень многочлена . Иначе говоря, для любого верно, что
Симметри́ческий многочле́н — многочлен от переменных, не изменяющийся при всех перестановках входящих в него переменных . Так, для многочлена двух переменных это означает ; примерами симметрических многочленов двух переменных являются , и .
Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке в пространстве . Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.
Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени , значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.
Функция ошибок — неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как
.
В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов
,
Интерполирование с кратными узлами — задача о построении многочлена минимальной степени, принимающего в некоторых точках заданные значения, а также заданные значения производных до некоторого порядка.
Многочлены Бернулли — последовательность многочленов, возникающая при изучении многих специальных функций, в частности ζ-функции Римана и ζ-функции Гурвица; частный случай последовательности Аппеля. В отличие от ортогональных многочленов, многочлены Бернулли примечательны тем, что число корней в интервале не увеличивается с увеличением степени многочлена. При неограниченном увеличении степени многочлены Бернулли приближаются к тригонометрическим функциям.
Теорема Тейлора даёт приближение к функции, дифференцируемой k раз, вблизи данной точки с помощью многочлена Тейлораk-го порядка. Для аналитических функций многочлен Тейлора в данной точке является частичной суммой их ряда Тейлора, который, в свою очередь, полностью определяет функцию в некоторой окрестности точки. Точное содержание теоремы Тейлора до настоящего времени не согласовано. Конечно, существует несколько версий теоремы, применимых в различных ситуациях, и некоторые из этих версий содержат оценки ошибки, возникающей при приближении функции с помощью многочлена Тейлора.
Функция Мертенса — числовая функция, определяемая для натуральных чисел формулой:
,
В математике функция распределения простых чисел, или пи-функция, — это функция, равная числу простых чисел, меньших либо равных действительному числу x. Она обозначается .
Многочле́ны Гегенба́уэра или ультрасфери́ческие многочле́ны в математике — многочлены, ортогональные на отрезке [−1,1] с весовой функцией . Они могут быть явным образом представлены как
Мера Малерадля многочлена с комплексными коэффициентами определяется как
В математике преобразование Вейерштрасса функции f : R → R, названное в честь Карла Вейерштрасса, представляет собой «сглаженную» версию f(x), полученную путём усреднения значений f, взвешенных с помощью гауссиана с центром в точке x.
Эта страница основана на статье Википедии. Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия. Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.