Многочлены Якоби

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Ортогональные многочлены Якоби
Общая информация
Формула
Скалярное произведение
Область определения
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение
Названы в честьКарл Якоби

Многочлены Якоби (или полиномы Якоби) — класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

Определение

Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечные[1]:

где является символом Похгаммера (для растущего факториала), и, таким образом, выводится выражение

Откуда одно из конечных значений следующее

Для целых

где  — обычная гамма-функция, и

Эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности

для и .

Существует отношение симметрии для полиномов Якоби.

а потому ещё одно значение полиномов:

Для действительного полином Якоби может быть записан следующим образом.

где и .

В особом случае, когда , , и  — неотрицательные целые, полином Якоби может принимать следующий вид

Сумма берется по всем целым значениям , для которых множители являются неотъемлемыми.

Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера () в терминах полиномов Якоби

,[2]
где

Величина определяется формулой

Производные

-я производная явного выражения приводит к

Примечания

  1. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22» Архивная копия от 17 августа 2005 на Wayback Machine, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 561, ISBN 978-0-486-61272-0, MR0167642
  2. Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — 1975.

Литература

  • Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 71, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78988-2, MR: 1688958.
  • Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F., Orthogonal Polynomials, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255.