В термодинамике и физике твёрдого тела модель Дебая — метод, развитый Дебаем в 1912 г. для оценки фононного вклада в теплоёмкость твёрдых тел. Модель Дебая рассматривает колебания кристаллической решётки как газ квазичастиц — фононов. Эта модель правильно предсказывает теплоёмкость при низких температурах, которая, согласно закону Дебая, пропорциональна
. В пределе высоких температур молярная теплоёмкость, согласно закону Дюлонга — Пти, стремится к
, где
— универсальная газовая постоянная.
Дебай при построении своей теории принял следующие предположения:[1]
- Твёрдое тело представляет собой непрерывную среду.
- Эта среда упруго изотропна.
- В среде отсутствует дисперсия.
- Упругие свойства среды не зависят от температуры.
При тепловом равновесии энергия
набора осцилляторов с различными частотами
равна сумме их энергий:

где
— число мод нормальных колебаний на единицу длины интервала частот,
— количество осцилляторов в твёрдом теле, колеблющихся с частотой
.
Функция плотности
в трёхмерном случае имеет вид:

где
— объём твёрдого тела,
— скорость звука в нём.
Значение квантовых чисел вычисляются по формуле Планка:

Тогда энергия запишется в виде:


где
— температура Дебая,
— число атомов в твёрдом теле,
— постоянная Больцмана.
Дифференцируя внутреннюю энергию по температуре, получим:

Молярная теплоёмкость твёрдого тела в теории Дебая
В модели Дебая учтено, что теплоёмкость твёрдого тела — это параметр равновесного состояния термодинамической системы. Поэтому волны, возбуждаемые в твёрдом теле элементарными осцилляторами, не могут переносить энергию. То есть они являются стоячими волнами. Если твёрдое тело выбрать в виде прямоугольного параллелепипеда с рёбрами
,
,
, то условия существования стоячих волн можно записать в виде:

где
— целые числа.
Перейдём к пространству, построенному на волновых векторах. Поскольку
, то

Таким образом, в твёрдом теле могут существовать осцилляторы, с частотами, изменяющимися дискретно. Одному осциллятору в
-пространстве соответствует ячейка с объёмом

где

В
-пространстве осцилляторам с частотами в интервале
соответствует один октант сферического слоя с объёмом

В этом объёме количество осцилляторов равно

Учтём, что каждый осциллятор генерирует 3 волны: 2 поперечные и одну продольную. При этом
.
Найдём внутреннюю энергию одного моля твёрдого тела. Для этого запишем взаимосвязь между волновым числом, скоростью распространения волн и частотой:


Колебания в твёрдом теле ограничены максимальным значением частоты
. Определим граничную частоту из условия:


Отсюда внутренняя энергия одного моля:

где
— средняя энергия квантового осциллятора (см. модель теплоёмкости Эйнштейна),
— постоянная Больцмана,
— число Авогадро.
В последнем выражении сделаем следующую замену переменных:
;
;
; 
— температура Дебая.
Теперь для
получим

![{\displaystyle =9RT\left({\frac {T}{\Theta }}\right)^{3}\int _{0}^{\frac {\Theta }{T}}\left({\frac {1}{e^{x}-1}}+{\frac {1}{2}}\right)x^{3}dx=9R\Theta \left[{\frac {1}{8}}+\left({\frac {T}{\Theta }}\right)^{4}\int _{0}^{\frac {\Theta }{T}}{\frac {x^{3}dx}{e^{x}-1}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80afe8cb7eb4eceabb078080b119dc0890ac11bf)
Наконец, для молярной теплоёмкости получаем
![{\displaystyle C={\frac {dU_{M}}{dT}}=3R\left[12{\left({\frac {T}{\Theta }}\right)}^{3}\int _{0}^{\Theta /T}{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx-{\frac {3\Theta /T}{e^{\Theta /T}-1}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d7cc483212578a10b50f62501a069a19392ab9)
Легко проверить, что при условии
теплоёмкость
, а при условии
теплоёмкость 
Интеграл
может быть взят методами теории функций комплексной переменной или с использованием дзета-функции Римана. Таким образом, теория Дебая соответствует результатам экспериментов.
Примечания
- ↑ Блатт Ф. Физика электронной проводимости в твёрдых телах. — М., Мир, 1971. — c. 64
Литература