Модель Сачдева — Йе — Китаева

В физике конденсированных сред и физике чёрных дыр, модель Сачдева — Йе — Китаева (SYK) — это точно решаемая модель, которую первоначально предложил Субир Сачдев и Джинву Йе^[1], а затем модифицировал в общепринятую в настоящее время форму Алексей Китаев^[2][3]. Считается, что эта модель помогает понять суть сильно коррелированных материалов, а также имеет тесную связь с дискретной моделью AdS/CFT и фермионным кодом. Модель поддаётся цифровому квантовому моделированию^[4] с новаторскими экспериментами, реализованными в установке ЯМР^[5].

Пусть ${\displaystyle n}$ — целое число и ${\displaystyle m}$ — чётное число такие, что ${\displaystyle 2\leq m\leq n}$, рассмотрим набор майорановских фермионов ${\displaystyle \psi _{i_{1}},\cdots ,\psi _{i_{n}}}$ которые являются фермионными операторами, которые удовлетворяют условиям: (1) эрмитовы ${\displaystyle \psi _{i}^{\dagger }=\psi _{i}}$; (2) cоотношение Клиффорда ${\displaystyle \{\psi _{i},\psi _{j}\}=2\delta _{ij}}$. Выберем случайную величину ${\displaystyle J_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}}$ такую, что ожидание удовлетворяет: (1) ${\displaystyle \mathbf {E} (J_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}})=0}$; и (2) ${\displaystyle \mathbf {E} (J_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{2})=1}$, тогда модель SYK определяется как

${\displaystyle H_{SYK}=i^{m/2}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{m}\leq n}J_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}\psi _{i_{1}}\psi _{i_{2}}\cdots \psi _{i_{m}}}$.

Обратите внимание, что иногда добавляется дополнительный коэффициент нормализации.

Самая известная модель — это когда ${\displaystyle m=4}$, тогда модель принимает вид

${\displaystyle H_{SYK}=-{\frac {1}{4!}}\sum _{i_{1}\ldots i_{4}\in \{1,N\}}J_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}\psi _{i_{1}}\psi _{i_{2}}\psi _{i_{3}}\psi _{i_{4}}}$,

обратите внимание, что здесь фактор ${\displaystyle 1/4!}$ добавляется для совпадения с обычно используемой формой.