
Тео́рия гра́фов — раздел дискретной математики, изучающий графы, одна из ветвей топологии. В самом общем смысле граф — это множество точек, которые соединяются множеством линий. Теория графов включена в учебные программы для начинающих математиков, поскольку:
- как и геометрия, обладает наглядностью;
- как и теория чисел, проста в объяснении и имеет сложные нерешённые задачи;
- не имеет громоздкого математического аппарата ;
- имеет выраженный прикладной характер.
Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре.

Раскраска графа — теоретико-графовая конструкция, частный случай разметки графа. При раскраске элементам графа ставятся в соответствие метки с учётом определённых ограничений; эти метки традиционно называются «цветами». В простейшем случае такой способ окраски вершин графа, при котором любым двум смежным вершинам соответствуют разные цвета, называется раскраской вершин. Аналогично раскраска рёбер присваивает цвет каждому ребру так, чтобы любые два смежных ребра имели разные цвета. Наконец, раскраска областей планарного графа назначает цвет каждой области, так, что каждые две области, имеющие общую границу, не могут иметь одинаковый цвет.

Хромати́ческое число графа — минимальное число цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы концы любого ребра имели разные цвета.

В теории графов тотальной раскраской называется вид раскраски вершин и рёбер графа. Если не указано явно другое, тотальная раскраска предполагается правильной в том смысле, что никакие смежные вершины и никакие смежные рёбра и вершины, лежащие на концах рёбер, не раскрашиваются в один и тот же цвет.

В теории графов число пересечений cr(G) графа G — это наименьшее число пересечений рёбер плоского рисунка графа G. Например, граф является планарным тогда и только тогда, когда его число пересечений равно нулю.

Экстремальная теория графов — это ветвь теории графов. Экстремальная теория графов изучает экстремальные свойства графов, удовлетворяющих определённым условиям. Экстремальность может относиться к различным инвариантам графов, таким как порядок, размер или обхват. В более абстрактном смысле теория изучает, как глобальные свойства графа влияют на локальные подструктуры графа.

Степень k неориентированного графа G — это другой граф, имеющий тот же самый набор вершин, и две вершины этого графа смежны, если расстояние между этими вершинами в исходном графе G не превышает k. Для указания степени графа используется терминология, аналогичная степеням чисел — G2 называется квадратом графа G, G3 называется кубом.
Гипотеза Албертсона — недоказанная связь между числом пересечением и хроматическим числом графа. Гипотеза носит имя Михаила О. Албертсона, профессора колледжа Смит, который сформулировал утверждение в качестве гипотезы в 2007. Гипотеза является одной из многих гипотез в теории раскраски графов. Гипотеза утверждает, что среди всех графов, требующих n цветов, полный граф Kn находится среди графов, имеющих наименьшее число пересечений. Эквивалентно, если граф может быть нарисован с меньшим числом пересечений, чем у Kn, тогда, согласно гипотезе, его можно раскрасить в меньше чем n цветов.
Линейный лес — это вид леса, образованного из дизъюнктного объединения путей. Это ориентированный граф, не имеющий циклов, в котором каждая вершина имеет степень, не превосходящую трёх. Линейные леса — это то же самое, что и леса без клешенй. Это также графы, инвариант Колен де Вердьера которых не превосходит 1.
Алгоритм раскраски рёбер Мисры и Гриса — это алгоритм полиномиального времени в теории графов, который находит рёберную раскраску любого графа. Раскраска требует максимум
цветов, где
— максимальная степень графа. Это значение оптимально для некоторых графов, а по теореме Визинга оно на один цвет больше, чем оптимальная раскраска остальных графов.
Теорема о верхней границе утверждает, что циклические многогранники имеют наибольшее возможное число граней среди всех выпуклых многогранников и триангуляций многомерной сферы при любой заданной размерности пространства и любом числе вершин. Это один из важнейших результатов в комбинаторике многогранников.