Мягкое множество

Перейти к навигации Перейти к поиску

Мягкое множество — параметризированное классом принадлежности семейство элементов универсума в теории нечётких множеств.

Определение

Под мягким множеством $A\$ понимается множество пар:

A=\{(x,M_{A}(x))|x\in X\}

где $X\$ — универсальное множество, а $M_{A}(x)\$ — множество принадлежности элемента $x\$ мягкому множеству $A\$ (множество нечёткости элемента $x\$ в мягком множестве $A\$ ). Множество $M_{A}(x)\$ характеризует степень принадлежности элемента $x\$ мягкому множеству $A\$ [2].

Множество $M_{A}(x)\$ является подмножеством некоторого вполне упорядоченного множества или даже решётки $M\$ ^[]. Множество $M\$ называют множеством принадлежностей, обычно в качестве $M\$ выбирается отрезок $[0,1]\$ . Если множество принадлежности элемента $M_{A}(x)\$ одноэлементное $\forall x\in X\$ , то мягкое множество может рассматриваться как нечёткое множество.

Мягкое множество также называют $P$ -нечётким множеством или нечётким множеством 2-го порядка [5]. Нечёткое множество 2-го порядка — это мягкое множество, у которого $M_{A}(x)\$ — это нечёткое множество.

Литература

1. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближённых решений. М.: Мир, 1976.

2. Мациевский С. В. Множества, мультимножества, нечёткие и мягкие множества без универсума // Вестник РГУ им. И. Канта, 2007, вып. 10, с. 44—52.

3. Могиленко А. В., Балуев А. В. Элементарные понятия теории нечётких множеств. Новосибирск, 2003.

4. Молодцов Д. А. Теория мягких множеств. М.: Едиториал УРСС, 2004.

5. Нечёткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. Под ред. Д. А. Поспелова. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.

Похожие исследовательские статьи

Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов, поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств. В XX веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств, обеспечивающие универсальный математический инструментарий, в связи с вопросами измеримости множеств тщательно разработана дескриптивная теория множеств.

Изоморфи́зм — соотношение между математическими объектами, выражающее общность их строения; используется в разных разделах математики и в каждом из них определяется в зависимости от структурных свойств изучаемых объектов. Обычно изоморфизм определяется для множеств, наделённых некоторой структурой, например, для групп, колец, линейных пространств; в этом случае он определяется как обратимое отображение (биекция) между двумя множествами со структурой, сохраняющее эту структуру, то есть показывающее, что объекты «одинаково устроены» в смысле этой структуры. Если между объектами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких структур.

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, представляющее собой набор, совоку́пность каких-либо объектов — элеме́нтов этого множества. Два множества равны тогда и только тогда, когда содержат в точности одинаковые элементы.

В комбинаторике перестано́вкой заданного конечного множества $\text{[math]}$ называется произвольный упорядоченный набор всех элементов $\text{[math]}$ . Группируя эти элементы в разном порядке, можно получить различные перестановки. Всего из множества с $\text{[math]}$ элементами можно получить $\text{[math]}$ различных перестановок.

Веще́ственное число́ — математический объект, возникший из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких вычислительных операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, исследование поведения функций.

Предика́т — это утверждение, высказанное о субъекте. Субъектом высказывания называется то, о чём делается утверждение. В лингвистике субъекту соответствует подлежащее, а предикату — сказуемое.

Фу́нкция — соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого.

Аксио́мой вы́бора, англ. аббр. AC называется следующее высказывание теории множеств:

А́белева гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа $\text{[math]}$ абелева, если $\text{[math]}$ для любых двух элементов $\text{[math]}$ .

Гру́ппа — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент, и каждый элемент множества имеет обратный. Раздел общей алгебры, занимающийся группами, называется теорией групп.

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Нечёткое множество — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 году в статье «Fuzzy Sets» в журнале Information and Control, в котором расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция множества может принимать любые значения в интервале $\text{[math]}$ , а не только значения $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . Является базовым понятием нечёткой логики.

<span class="mw-page-title-main">Аксиома Архимеда</span> математическая аксиома

Аксиома Архимеда, или принцип Архимеда, или свойство Архимеда — математическое предложение, названное по имени древнегреческого математика Архимеда. Впервые это предложение было сформулировано Евдоксом Книдским в его теории отношений величин :

Части́чно упоря́доченное мно́жество — математическое понятие, которое формализует интуитивные идеи упорядочения, расположения элементов в определённой последовательности. Неформально, множество частично упорядочено, если указано, какие элементы следуют за какими. В общем случае может оказаться так, что некоторые пары элементов не связаны отношением «следует за».

Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли — стали самостоятельными областями математики.

Нечёткая логика — раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств, базирующийся на понятии нечёткого множества, впервые введённого Лотфи Заде в 1965 году как объекта с функцией принадлежности элемента ко множеству, принимающей любые значения на отрезке $\text{[math]}$ , а не только $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . На основе этого понятия вводятся различные логические операции над нечёткими множествами и формулируется понятие лингвистической переменной, в качестве значений которой выступают нечёткие множества.

Функция принадлежности нечёткого множества — обобщение индикаторной функции классического множества. В нечёткой логике она представляет степень принадлежности каждого члена пространства рассуждения к данному нечёткому множеству.

Коне́чное по́ле, или по́ле Галуа́ в общей алгебре — поле, состоящее из конечного числа элементов; это число называется поря́дком поля.

Основа́ния матема́тики — система общих для всей математики понятий, концепций и методов, с помощью которых строятся различные её разделы.

Упорядоченная группа — группа, для всех элементов которой определён линейный порядок, согласованный с групповой операцией. Вообще говоря, группа может быть не коммутативной.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.