Наименьшее общее кратное

Наиме́ньшее о́бщее кра́тное (${\displaystyle \mathrm {HOK} }$) двух целых чисел ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ есть наименьшее натуральное число, которое делится на ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ без остатка, то есть кратно им обоим. Обозначается одним из следующих способов:

• ${\displaystyle \mathrm {HOK} (m,n)}$;
• ${\displaystyle [m,n]}$;
• ${\displaystyle \mathrm {LCM} (m,n)}$ или ${\displaystyle \mathrm {lcm} (m,n)}$    (от англ. least common multiple).

Пример: ${\displaystyle \mathrm {HOK} (16,20)=80}$.

Наименьшее общее кратное для нескольких чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.

Одно из наиболее частых применений ${\displaystyle \mathrm {HOK} }$ — приведение дробей к общему знаменателю.

• Коммутативность: ${\displaystyle \mathrm {lcm} (a,b)=\mathrm {lcm} (b,a)}$.
• Ассоциативность: ${\displaystyle \mathrm {lcm} (a,\mathrm {lcm} (b,c))=\mathrm {lcm} (\mathrm {lcm} (a,b),c)}$.
• Связь с наибольшим общим делителем ${\displaystyle \mathrm {gcd} (a,b)}$:

  ${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd} (a,b)}}.}$

• В частности, если ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — взаимно-простые числа, то ${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=a\cdot b.}$
• ${\displaystyle \operatorname {lcm} (a_{1}^{n},a_{2}^{n},...,a_{k}^{n})=(\operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},...,a_{k}))^{n}}$ при ${\displaystyle n\geqslant 0.}$
• Наименьшее общее кратное двух целых чисел ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ является делителем всех других общих кратных ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$. Более того, множество общих кратных ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ совпадает с множеством кратных для ${\displaystyle \mathrm {HOK} (m,n)}$.
• Асимптотики для ${\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)}$ могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции. Так:
  • функция Чебышёва ${\displaystyle \psi (x)=\ln \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,\lfloor x\rfloor );}$
  • ${\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\leqslant g\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\sim e^{\sqrt {{\frac {n(n+1)}{2}}\ln {\frac {n(n+1)}{2}}}},}$ что следует из определения и свойств функции Ландау ${\displaystyle g(n)}$;
  • ${\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\sim e^{n+o(1)},}$ что следует из закона распределения простых чисел.

${\displaystyle \mathrm {HOK} (a,b)}$ можно вычислить несколькими способами.

1. Если известен наибольший общий делитель, можно использовать его связь с ${\displaystyle \mathrm {HOK} }$:

${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd} (a,b)}}}$

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

${\displaystyle a=p_{1}^{d_{1}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{d_{k}},}$

${\displaystyle b=p_{1}^{e_{1}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{e_{k}},}$

где ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}}$ — различные простые числа, а ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{k}}$ и ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{k}}$ — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда ${\displaystyle \mathrm {HOK} (a,b)}$ вычисляется по формуле:

${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=p_{1}^{\max(d_{1},e_{1})}\cdot \dots \cdot p_{k}^{\max(d_{k},e_{k})}.}$

Другими словами, разложение ${\displaystyle \mathrm {HOK} }$ содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел ${\displaystyle a,b}$, причём из показателей степени этого множителя берётся наибольший. Пример для бо́льшего количества чисел:

${\displaystyle 56\;\,\;\,=2^{3}\cdot 3^{0}\cdot 7^{1}}$

${\displaystyle 9\;\,\;\,=2^{0}\cdot 3^{2}\cdot 7^{0}}$

${\displaystyle 21\;\,=2^{0}\cdot 3^{1}\cdot 7^{1}.}$

${\displaystyle \operatorname {lcm} (56,9,21)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7^{1}=8\cdot 9\cdot 7=504.}$

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть также сведено к нескольким последовательным вычислениям ${\displaystyle \mathrm {HOK} }$ от двух чисел:

• ${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b,c)=\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (a,b),c);}$
• ${\displaystyle \operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}).}$

• Наибольший общий делитель

• Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1952. — 180 с.

• Weisstein, Eric W. Least Common Multiple (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.